100 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



En même temps, la courbe fixe diffère très-peu de la parabole 



y 2 = Alx; 



de sorte que le roulement uniforme de la spirale d'Archimède sur la 

 parabole correspondante, dans les premiers instants à partir de l'époque 

 où le pôle de la courbe mobile a quitté le sommet de la courbe fixe, 

 assure au pôle un mouvement uniformément varié: chose évidente a 

 priori, le point mobile partant en effet du repos, et tout mouvement 

 naissant étant un mouvement uniformément varié. 



3° Mouvement rectiligne oscillatoire, défini par l'équation différen- 

 tielle du second ordre 



— = — A 2 x, 

 dt 2 



ou par l'équation en termes finis 



œ = R cos Kt, 



où R désigne la longueur de la demi-oscillation. 

 On déduit de la seconde équation 



dx = — RA' si n Ktdt, 



dx 1 dx 



et ; par conséquent, dt. 



RA sin Kt RA 



V l R* 



Élevant au carré, et multipliant par V 2 , puis égalant à dx 2 ~\-dy 2 , 

 on aura pour l'équation de la courbe cherchée 



7i7 ^ 2 dx* 



dx 2 -\- dy 2 ■ 



A 2 R 2 — x 2 

 ou bien 



+ dx /V* — ^(R 2 — oc 2 ) 



*=±*y 



K V R 2 — x- 2 



Si nous posons œ = Rcoscf-, ce qui revient à appeler o l'angle Kt, 



AR 



on en déduit, en laissant de côté le signe, et en faisant — ==c, 



dy = — [ y 1 — c 2 sin 2 tp 



ou y=- ! i d-j y 1 _ c 2 sin 2 <p, 



de sorte que y est donné par un arc d'ellipse. 

 La courbe roulante s'obtiendra en intégrant l'équation 



i/ilO = dx = — R sin cp d-j . 



