104 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



le sens AB, par exemple; le mouvement du mobile sera défini par l'équa- 

 tion 



(4) s = f (t). 



A chaque position M du point mobile correspond un point P sur la 

 courbe directrice, à l'intersection de cette courbe avec la normale MP a 

 la courbe donnée. Désignons par r la longueur du segment MP compris 



sur la normale entre les deux courbes. Nous 



attribuerons à ce segment le même signe qu'au 



rayon de courbure p de la courbe donnée, s'il 



est porté en prolongement de ce rayon ou sur 



la normale extérieure, et un signe contraire 



s'il est porté sur la normale intérieure. A l'arc 



MM' = ds de la trajectoire correspond sur la 



courbe cherchée l'arc PP = da, compris entre les 



normales MP, MP', et satisfaisant à la relation 



da = Vdt. 



Soit C le centre de courbure de l'élément MM', point de rencontre des 



deux normales voisines MP, M' P'. De ce point comme centre, décrivons 



un arc de cercle PQ avec CP pour rayon ; nous aurons 



QP' = dr, 

 et la longueur PQ sera donnée par la proportion 



PQ CP 



MM' = ~~ CM" 



ou 



ds 



PQ P + r 



'■ds* 



Donc da = sj PQ 2 -f QP' 2 = t / ( /r 2 + ( p + r 



L'équation de la courbe, rapportée aux coordonnées s = arc AM et 

 r = MP, sera donc : 



"p + n, 



(5) fy* + [^^l 2 ^ 2 = 



V 2 dr 1 



p 



Il faudra éliminer le temps t entre les équations (4) et (5) ; l'équation 

 finale sera une relation entre les quantités s, r, et p, dont l'une, p, est 

 exprimable en fonction de s; ce sera donc une équation différentielle entre 

 s et r. 



Si la courbe AB est la trajectoire décrite par un mobile obéissant à 

 la loi des aires égales en temps égaux, le centre des aires étant un point 

 0' quelconque, on pourra substituer à l'équation (1) la condition d'une 

 vitesse aréolaire constante, c'est-à-dire l'équation 



p ds =: A dt , 



