É. COLLIGNOtf. — RECHERCHES SUR LE MOUVEMENT ÉPICYCLOIDAL 109 



/• la longueur Ml*, et p. l'angle que la directrice fait au point P avec 

 le rayon vecteur PO. Là distance OP sera égale à 

 a-f-r, quantité que nous appellerons h pour abréger. 

 On aura donc pour l'arc élémentaire PP' de la di- 

 rectrice 



dc=J dh 2 + h\do\ 



et l'équation différentielle* de la directrice, rapportée 

 aux coordonnées polaires h et tp, sera 



Fig. 10. 



dh*-\-h i df = \-<lt 1 y 



V étant une constante. Nous supposerons d'abord que le mouvement 

 circulaire soit uniforme, c'est-à-dire nous poserons; 



d<o 



dï= n - 



quantité constante. L'équation devient alors : 



v 



b étant un nombre donné, égal à — . 



Cette équation est très-facile à intégrer, puisque les variables s'y 

 séparent. On arrive aussi au résultat en suivant la marche que nous 

 allons exposer. 



Élevons en P une perpendiculaire PQ sur le rayon vecteur OP. Quand 

 le point P suit la directrice cherchée, la droite PQ enveloppe une cer- 

 taine courbe SS', dont la directrice PP' est la podaire par rapport au 

 point 0. La distance PQ entre le point P et le point de contact de PQ 



ri h 



avec son enveloppe est égale à la dérivée — r— . Cela posé, différentions 



l'équation (1) ; il vient : 



d h /d 2 h . , \ 



7Z {dy + h )= ' 



équation qui se décompose en deux autres, 



dh . . d % h , . 



~— - — o, ou bien -; \- h = o . 



do d <p* ' 



d h 

 Si l'on fait — = o, ou h constant, l'équation (1) montre que h est, en 

 d o 



effet, égal à une constante, savoir à la quantité b. 



On obtient d'autres solutions en posant 



h h = o 



dz*~ 



