"20 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQU] 



On en déduit — = tangco, 



y 4a 



—- — l=tango>, 

 // o = tang 2 cp »<d = — (h 



' ' COS 2 cp 



= dtang(p — d«p , 

 et enfin = tango — y, 



Pour a>= 0, rp=2a, ce qui correspond au sommet de la parabole; 

 on peut taire aussi 6 = 0, et ne pas ajouter de constante. La courbe 

 voulante a, eu définitive, pour équation 



r 2 — 4a- 2« 



— arc cos — . 



\/ ^a r 



("est une courbe BANB, symétrique par rapport à l'axe polaire MA, 

 qu'elle coupe une infinité de fois, et qu'elle touche au point = 0, 

 rs=2a, où elle a un rebroussement. Elle coupe ses rayons vecteurs 

 sous l'angle œ. Les valeurs de r croissent indéfiniment à mesure que cp 



s'approche de -. L'arc s de la courbe compris entre le rebroussement et 



le point situé à la distance r du pôle est donné par la formule 



r 2 = 2a(2a-f2s); 



il est égal à l'abscisse x du point correspondant de la parabole. Enfin 

 la construction de Savary, appliquée à cette courbe roulante, t'ait con- 

 naître le rayon de courbure p = 2a tang cp sin cp. 



Supposons, en second lieu, que le point mobile parcourant la para- 

 bole soit assujetti à décrire en temps égaux des aires égales autour 

 du foyer. 



Soit F le loyer de la parabole, M un point de la courbe, FB la par- 

 pendiculaire abaissée du foyer sur la tangente, perpendiculaire qui coupe 

 la tangente en un point B appartenant à la 

 tangente au sommet OY. La normale MN esl 

 parallèle à FB. La sous-normale PN esl cons- 

 tante et égale au double delà distance OF. En- 

 lin les angles OFB, BFM, ONM, FMN sont égaux 

 entre eux. 



La vitesse r du mobile au point }\ satisfait à 

 la loi des aires, c'est-à-dire à l'équation 

 v p = A , 

 en appelant p la distance FB, et A le double de l'aire décrite par le 

 rayon vecteur FM dans l'unité de temps. 



