É. COLLIGNON. — RECHERCHES SUR LE MOUVEMENT ÉPICYCLOIDAL 121 



La courbe directrice cherchée s'obtiendra en portant sur MN, dans le 

 sens MN par exemple, une longueur r telle qu'on ait : 



A 



c'est-à-dire une longueur r = — , 



et comme 31N = 2BF, on aura aussi : 



(*) 

 2A _ IV U 



r = rj^ , ou /• X MN = — . 



MN X w w 



Du point N abaissons NQ perpendiculaire sur FM ; nous aurons 

 MQ==NP = 2a; abaissant encore Ql perpendiculaire sur MN, le triangle 

 rectangle MQN donne l'égalité 



MI x MN=MQ 2 = 4a 2 . 



Divisant ces deux équations l'une par l'autre, il vient ; 



_r_ A 

 MF - 2a-w' 



de sorte que r est proportionnel à Ml. On peut, par conséquent ,' faire 



A 



r = MI, en prenant <o =^— ;• 



La courbe directrice est donc le lieu des projections, I, des points U 

 sur la normale correspondante MN. 



Si l'on appelle a l'angle BFO ; les coordonnés x et y du point I seront 

 données par les équations 



x = a taug 2 a -f- 2 a cos 2 a, 

 i/ = 2(i tang x — 2 (/ cos a sin x. 

 L'élimination de x entre ces équations ferait connaître l'équation de 

 la courbe, qui est du G" 10 ordre. Pour des valeurs de a très-voisines 



de ~ t les premiers termes des valeurs de x et de y surpassent les 



A 



seconds, qui tendent vers zéro; la courbe roulante tend, par conséquent, 

 à se confondre avec la parabole, dont les coordonnées sont définies par 

 ces premiers termes pris isolément. 



Si l'on transporte l'origine au point G défini par l'abscisse Ci =: 2 a, 

 les équations de la courbe se simplifient et deviennent 



x = — a tang- a cos 2 a, 

 ij = 2 a tang a sin 2 a. 



Le rapporta est égal à — tang 2 x. C'est le coefficient angulaire de 



[*) Ainsi, dan> te mouvement des comètes, r doit être inverseinenl proportionnel à ta normale 

 MN; dans le mouvement des corps pesants, r doit être proportionnel a MN. 



