122 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



te droite GI lorsque l'origine est transportée au point G. On en 

 déduit que l'angle OGI est égal à 2 x, ou au double de l'angle ON M; 

 done, dans le triangle GIN, les angles en N et I sont égaux, et par 

 conséquent les cotés opposés GN, GL le sont aussi. 



L'équation en coordonnées polaires de la courbe lieu des points I, en 

 prenant le point G pour pôle et l'axe GO pour axe polaire, résulte 

 aisément de cette remarque. On a, en appelant r le rayon vecteur et w 

 l'angle polaire <", I, 



u = 2 œ, 

 r — Gl = G N — N — G = OP + PN — OG = OP, 



puisque les longueurs OG et PN sont toutes deux égales à 2r/. Ainsi 

 le rayon vecteur r de la courbe roulante est égal à l'abscisse P du 

 point correspondant de la parabole. 



Si donc on appelle r le rayon vecteur F 31 de la parabole rapportée 

 à son foyer, rayon qui t'ait l'angle 2 x avec l'axe F 0, on aura à la t'ois : 



r' = x ==a — r cos 2 x, 



et r cos 2 % = a. 



Remplaçons a par — , puis éliminons r entre les deux dernières équa- 

 tions ; il viendra pour l'équation polaire du lieu des points I, 



w 



r = a tan g 2 — . 



La tangente trigonométrique de l'angle ;j.', que t'ait cette courbe avec 

 son rayon vecteur au point I, est donnée par l'équation 



r' d w 



tanff u 



d r 



1 



On en déduit tan^ \i.'= — sin to. L'angle ;a, que t'ait la normale 31 1 à la 



parabole avec cette même courbe au même point 1, se déduit de l'an- 

 gle y.' en observant qu'on a : 



V- + \ j: + * = ~ 

 Donc 



tang \x = — tang a ( 1 -] — ), 



\ cos 2 y. 



D'ailleurs 311 est le rayon vecteur de la courbe roulante. Appelons r t 

 ce rayon vecteur, et l'angle polaire correspondant ; nous aurons : 



311 = r l = 2 a cos a, 

 d 1\ = — 2 a sin xd a; 

 et, par conséquent. 



