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est alors coupée par le plan des deux droites el, dm, suivant une courbe 

 du A" ordrw qui a quatre points doubles, c'est-à-dire une courbe qui se 

 décompose en deux coniques. 

 Mais il résulte des valeurs de oe et de od, ('(-rites plus haut, que 



_L _l_L -i. 



oc- od 2 b- ' 



et. par suite, que ed est une tangente à la circonférence dont le centre 

 est o et le rayon ob. 



Le plan (el, dm) est donc aussi tangent en <j à la surfa e de l'onde 

 et le point g est alors un point double de la section faite par ce plan 

 dans cette surface. Mais cette section se compose de deux coniques ; ces 

 courbes doivent alors avoir en commun le point y; elles ont donc cinq 

 points communs et doivent se confondre. 



Le plan (el, dm) touebe alors la surface de l'onde le long de ces 

 coniques. 



Je dis que ces courbes sont des circonférences de cercles. 



Coupons la surface de l'onde par un plan perpendiculaire au plan 

 des xz. Ce plan coupe le plan des xz suivant, une droite qui est un 

 axe de la section qu'il détermine dans la surface de l'onde et il coupe 

 le plan (el, dm) suivant une perpendiculaire à cet axe. Lorsqu'on trans- 

 porte ce plan sécant parallèlement à lui-même à l'infini, la courbe 

 d'intersection se compose d'une circonférence et d'une conique concen- 

 triques et la trace du plan (el, dm) sur le plan de l'infini, qui est, d'a- 

 près ce que nous venons de dire, perpendiculaire à un axe de ces 

 courbes, ne peut être une de leurs tangentes communes, mais doit être 

 une de leurs cordes communes. 



Ainsi les plans tangents singuliers de la surface de l'onde coupent 

 le plan de l'infini suivant des cordes communes au cercle et à la coni- 

 que situés sur ce plan. Par suite, les coniques suivant lesquelles ils 

 touchent la surface de l'onde passent par des points situés sur le cercle 

 imaginaire de l'infini et sont alors des circonférences de cercles. 



La surface de l'onde ayant un centre, ses plans tangents singuliers 

 sont symétriques deux, à deux. Il y a alors (Ivux [dans tangents singu- 

 liers pour chacune des cordes communes au cercle cl à la conique 

 situés dans le plan de l'infini, c'est-à-dire que lu surface de l'onde a 

 douze plans tangents singuliers. 



Parmi ces plans tangents, il n'y en a (pu- quatre réels, puisque, sur 

 le plan de l'infini, il n'y a que deux cordes communes réelles. Des 

 plans parallèles aux plans tangents singuliers passent par les cordes 

 communes au cercle et à laconique situés sur le plan de l'infini; ils 

 coupent alors la surface de l'onde suivant des courbes ayant pour 



