128 MATHÉMATIQUES, ASTItONOMIK. I,K< >I».SIK. MKCAMOI K 



II. 



Soit maintenant la formule de Jacobi : 



[M — x) (1 — œ 2 )(l— œ 3 ) ...y 

 = 1 — Sx -j- o œ s — 7 œ 6 + 9 ce 10 — 1 1 .r 1 ' -f . . , (2j 



d'où résulte, comme l'a remarqué M. Halphen : 



x -\- S x' 1 -\- 4 x' -j- . . . / n. x a -)-... 

 x — »x-+ lia; 6 — 30x i0 +oox 1 -— . 



1 — 3œ + S .r J — 7 « 6 -f- 9 a; 10 — 1 1 x i:i -f 



Supposons : 



1 



( ,. (3) 



1 —3a; -f 5x 3 — 7a,- 6 -f- 9a; 1 " — . . . 

 = l+A 1 a; + A 2 a3 2 +...+A„a;» + ..., (4) 



de manière que les nombres entiers A„ sont donnes par la loi de 

 récurrence : 



A (î — 3A„_ 1 -|-oA, i _3 — 7A,i-o+9A,,-io— ... =0. (S) 

 Alors, d'après l'égalité (4) : 



in = An-1 - oA„_3+ 14An-6 — 30A n -.io + ^ A "-i3 — • • • ( c ) 



III. 



J'ignore si l'on a fait attention que l'on peut ramener la détermina- 

 tion de / n, au problème de la décomposition d'un nombre entier, en 



parties entières, aclditives. Pour arriver à ce résultat curieux, il suffit 

 de modifier légèrement la méthode employée ci-dessus. 

 Soit la célèbre formule d'Euler : 



(I —x) (l — œ*) (1 — ai 3 ) .... 

 = 1— a; — x* + x> -\- x' 1 — x 1 - — x Vo -\- . . . (0) 



On en conclut, comme Labey : 



r 



x -{- 'S x- ~\- 1 x 3 +•••+/ n .x -(-.... 



Jx + %x n ~ — 5'ar> — "tx'-\- 12a; 12 + 15a; 13 — . . . 



1 — x — x- -f- x : ' -f- x~ — x Vi — x Vi -f- • • . 



I*) Recherches sur quelques produits indéfinis, p. 39 et suiv. — Il est visible que, dans le 



n(n-H) 



numérateur, le coefficient de x est, aaleui n so «e, la sotnnié des carresdes n })>c 



miers nombres entiers. 



