HALPHEN. — POINTS M\t,l LIERS DES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES 133 



axes, f (t) CQmdience par un terme de degré n. Si la tangente coïncide 

 avec l'axe des x, f{t) commence par un tenue de degré supérieur à n. 

 Soit »-)-v le degré de ce ternit'. Les deux nombres n, v sont ceux dont 

 j'ai parlé pins liant, et ([ni traduisent, dans beaucoup de questions, 

 l'influence du cycle (1). .l'appelle le nombre n, Yordre, et le nombre v, 

 la classe du cycle, que je désignerai à l'occasion par ces mots : le 

 cycle (n, v). 



2. Il me parait inutile de rappeler la démonstration de la proposition 

 précédente, non plus que celle du théorème suivant : 



Théorème I. Si deux courbes planes algébriques C, G se correspondent 

 point par point, à un cycle de C correspond un cycle de G et réciproque- 

 ment. Si et (Y sont les origines de deux cycles correspondants, et que 

 n et n' soient leur* ordres respectifs, à un point placé sur le premier 

 cycle à distance infiniment petite d'ordre n de 0, correspond sur Vautre 

 cycle un point a distance in f aiment petite d'ordre n' de (*). 



3. En supposant l'axe des ./• coïncidant avec la tangente de (I), 

 on a: 



.r=t, j/=A*«+ V + 



En un point a, infinimenl voisin de (I, le coefficient angulaire de la 



tangente est " \f + Donc en un point du cycle, (n, v), à dis- 



n 



tance infiniment petite d'ordre n de Vorigine de ce, cycle, lu tangente (ait 

 arec la tangente n cette origine un angle infiniment petit d'ordre v. 



Soit C, une courbe à laquelle appartienne le cycle envisagé, et soit 

 C une courbe corrélative. D'après le théorème I, an cycle (n, v) corres- 

 pond sur G un antre cycle. D'après le résultat précédent et le théorème 

 l, on voit que ce cycle a pour ordre le nombre v. Donc: 



A un cycle (n, v) correspond dans une courbe corrélative un cycle 

 (v, n). 



J'ai ici terminé le rappel des notions utiles pour l'intelligence de la 

 note actuelle, et j'aborde mon sujet principal. 



4. Soit G une courbe gauche algébrique. Parallèlement à nue direc- 

 tion arbitraire, il n'y a qu'un nombre fini de droites rencontrant G en 

 plus d'un point. Si donc on projette G suivant deux d'rections arbi- 

 traires, les projections G', G" correspondent point par point à G, et, 

 par suite, se correspondent aussi entre elles point par point. Soient 0, 

 a. deux points infiniment voisins pris sur G, les projections 0' a, 0" a" 

 de Oa sont des infiniment petits d'un même ordre. Donc, d'après le 

 théorème f, les cycles correspondants dont 0' et 0" sont les origines, ont 

 le même ordre. Supposant 0, pris pour origine des coordonnées, et les 



[*] Bulletin de la Société mathématique. \. TV. p 32. 



