HALPHEN. — POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES 137 



Si l'on applique l'équation (5) à une section quelconque de S, et à une 

 section quelconque de -, on obtient deux relations entre les ordres, les 

 rangs, les classes des cycles de G, el le degré, le rang, la classe de cette 

 courbe. 



Le degré m de G est le nombre des points où G rencontre un plan. 



Sa classe \j. est le degré de F, ou le nombre des plans oscillateurs 

 que l'on peut mener à G par un point. 



Le rang r commun à G et à F est le nombre des droites 1) on A qui 

 rencontrent une droite arbitrairement choisie. 



Une section de S a le degré \j. et la classe r. Son plan rencontre (i 

 et m, points dont chacun est l'origine d'un cycle (2, li. Pour ce cycle 

 le (v— m est égal à — 1. Donc, en vertu du I er résultat du n" x, 

 l'équation (5) appliquée à cette section donne : 



(6) S(v — *) — m = 3 (\>. — r). 



De même, pour une section de ï, ou aura l'équation : 



(7) i: (n — ï) — [j. = H du — r) . 

 Les deux équations combinées mènent à celle-ci : 



iXl S (v — n) = 2 (\). — un. 



qui, comme (5), est symétrique par rapport aux deux courbes G et F. 

 L'équation (8) fournit le nombre des plans oscillateurs stationnaires de 

 G(l, I, 2), comme (5) le nombre des inflexions d'une courbe plane. 



Kl. Je me propose maintenant la recherche des degrés, classes, rangs 

 de quelques courbes ou surfaces liées à une courbe gauche algébrique 

 offrant des singularités quelconques. Pour y parvenir, j'appliquerai la 

 proposition suivante, que je rappelle ici sans démonstration (i). 



Thkokème V. — Le nombre des zéros <ï<nu> fonction rationnelle des 

 coordonnées d'un point d'une courbe algébrique est égal ou nombre de ses 

 infinis. 



La manière dont ce théorème s'applique se comprendra aisément sur 

 un exemple. Aussi traiterai-je en détail une première question et les 

 autres plus succinctement. 



11. Je considère une courbe gauche G et une surface de 2 f/ degré q. 

 Soient x un point de G, et D la tangente en x. Soit aussi y le point 

 où D rencontre le plan polaire de x par rapport à q. Le point y en- 

 gendre une courbe Y dont je vais chercher le degré. 



J'emploie des coordonnées tétraédrales, liées par la relation 



(9) À = Xj x t -f- À 2 .x-, -f- X 3 a? 3 -f- liXf=i . 



Dénotant par q = o l'équation de la surface q, prenant x { pour va- 



1 Bulletin Je lu Société mathématique; l. IV, p. tj2. 



