IIAJ.PHKN. — POINTS 6ING1 I.IKIts DES COURBES GAUCHES M.i.KlîlUQUKS 139 

 44, — Pour tout autre point ./• de G, les .r ont des valeurs Unies, et 

 les rapporte de tir.,, <l.r : <, <l.r. à '/./,, ne sont pas intinis. 



Je suppose d'abord un point x dont 1rs coordonnées ne tassent pas 

 évanouir q. Alors le second membre de (10) a une limite finie dépendant 

 de ces derniers rapports, c'est-à-dire de la direction de la tangente I) 

 en x, et nullement des autres données du cycle de (>, dont l'origine est 

 au point x. Si cette limite s'évanouit, c'est qu'alors le point y est dans 

 le plan a. Donc les points de (1, autres que ceux précédemment 

 examinés, et qui, en outre, ne sont pas sur q, donnent lieu à des zéros 

 de u, et le nombre de ces zéros est le degré y de la courbe Y. 



Reste à examiner ce qui concerne 'les points de G pour lesquels q 

 s'évanouit. Soit n l'ordre d'un cycle, ayant son origine en un tel point, 



et — l'ordre du contact de chaque branche de ce cycle avec q. La 



n 



quantité q est infiniment petite de l'ordre n -\- l>. quand x { est infini- 

 ment petit de l'ordre n. D'ailleurs a a une limité finie. Donc aq ' est 



n 4- k 

 de l'ordre ^ . Sa dérivée par l'apport à ;i\ est de Tordre 



3n + ft . , . | . „ , 3(n + />) 3/1+ fr 

 ^ , et le produit par q* est de 1 ordre — 3 3 — = /t. 



Donc les rencontres de G et de q donnent lieu à des zéros de w, et le 

 nombre de ces zéros est égal à la somme des ordres des contacts des 

 branches de G avec q. Soit K cette somme, j'ai finalement : 



ij = m + r — K 



Le degré de la ligne Y est égal à la somme de l'ordre et du rang de G 

 diminuée de la somme des ordres des contacts de G et de q. 



45. — On peut mettre ce résultat sous une autre forme. Je considère 

 encore un cycle de rencontre de G et de q. Prenons tous les cycles 



analogues, j'ai : 



S (n + k) = 2m = N + K, 



N désignant maintenant la somme des ordres de ces cycles. Je puis donc 



écrir 



y = r — m + N 



Le degré de la ligne Y est égal à l'excès du rang de G sur son degré 

 augmenté de la somme des ordres de multiplicité des points de G qui 

 appartiennent en même temps à q. 



Cet énoncé offre l'avantage de s'accommoder, sans ambiguïté, au cas 

 où q est un cône dont le sommet est sur G. Je fais maintenant cette 

 supposition, et je forme une figure corrélative de telle sorte que la 

 conique, corrélative du cône q, soit le cercle de l'infini. Cela étant, le 



