HALPHEN. — POINTS SINGULIERS DES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES 141 



On trouve pour la classe r, de Y : 

 r, = 6r — om + 2 {Sri — 2i' — v') + 2 (2n"~ i") + ï: (ri" — v"') 



Dans cette formule, les signes somma toires s'appliquent respectivement 

 aux cycles de G, pour lesquels on a entre l'ordre, le rang et la classe, 

 l'une des relations : 



ï -j- v' < ri, 



i" _|_ V " > n" et n" diffèrent de i'\ 



r=ri" et v'" < /('". 



Passant de ces formules à leurs corrélatives, j'obtiens les résultats 

 suivants : 



Pour une courbe gauche de rang v et de classe \>., dont aucun plan 

 oscillateur n'est à l'infini et dont les plans oscillateurs isotropes sont 

 relatifs à des points ordinaires, 



1° l.e degré de la surface rectifiante est égal a 



Sr + S (v — i) ; 



la sommation s étendant a Ions les cycles de la courbe pour chacun des- 

 quels la classe v surpasse le rang i. 



2" Le degré de l'arête île rebrousse ment de la surface rectifiante est 

 égal à 



6r — 3m + 2 (3v' — 2i' — n) + 2 rh" — i") + 2 (v'" — ri"); 



les sommations s étendant savoir : 



La première à tous les cycles pour chacun desquels la somme n' -f- i' de 

 l'ordre et du rang est inférieure à la classe v'; 



La seconde à tous les cycles pour chacun desquels la classe v" diffère 

 du rang i", si en même temps la somme de l'ordre et du rang n" -|- i" 

 surpasse ou égale la classe v" ; 



La troisième à tous les cycles pour chacun desquels l'ordre ri" est infé- 

 rieur à la, classe v'", si en même temps le rang est égal à la classe. 



Par exemple, pour une courbe gauche sans aucune singularité ponc- 

 tuelle, le degré de la surface rectifiante est douze fois l'excès du rang 

 sur le degré ; le degré de l'arête de rebroussement est quinze fois le 

 même excès. 



18. — Pour terminer cette communication, je citerai encore les résul- 

 tats suivants, que j'ai obtenus par la même méthode et qui sont d'une 

 entière généralité. 



Le nombre des plans que l'on peut mener normalement à une courbe 

 par un point arbitraire est égal à la somme du rang et du degré de cette 

 courbe, diminuée de la somme des ordres de ses contacts avec le plan de 



