

C.-A. LAlSAiNT. — SIR QUELQUES PROPRIÉTÉS KES POLYGONES 1 4o 



construisant, sur ohacun des côtés du premier, un triangle semblable à 

 un triangle donne; en sorte que les troisièmes sommets de ces triangles 

 forment un polygone, ou tout au moins un système de points dont le 

 nombre est égal à celui des sommets du premier polygone. 



Je ne crois pas que le problème, envisagé ainsi d'une façon générale, 

 ait fait jusqu'à présent l'objet de recherches suivies, et il est probable 

 que, par les procédés ordinaires, il serait difficile à résoudre. La mé- 

 thode des Équipollences, cependant, fournit, comme nous allons le voir, 

 une solution tout à fait naturelle. 



. . RQ 



2.— Soit un triangle PQR; appelons p le rapport géométrique ^. 



De l'équipollence — - = [>., nous déduisons 

 Kl 



() |>_ ; J ,_1 



OR" (a 



1 



et, par conséquent [/.= j — — . 



3. — Considérons maintenant un polygone quelconque AjA^.. A„ de 

 n côtés, et supposons, pour lixcr les idées, qu'en le parcourant dans le 

 sens Aj.V.Aj..., on ait toujours à sa gauche l'intérieur du polygone. 

 Sur chacun des côtés de ce polygone, nous construisons des triangles 

 AjA'jA^j, AjA'jA^.... AnA'nAj, directement semblables au triangle PQR 

 ci-dessus. 



Ces triangles seront extérieurs au polygone si i angle du rapport — est 



compris entre zéro et tï ;et intérieurs, si cet angle est compris entremet 

 2-. Les résultats que nous allons obtenir sont d'ailleurs applicables aussi 

 bien aux sommets intérieurs qu'aux sommets extérieurs. 



Puisque le triangle AjA'jA, est directement semblable à PQR, nous 

 avons : 



A 2 A' t __ RQ __ 

 A 2 A t — RP — V ' 



d'où A 2 A' 1 =n.A a Ai ; c'est-à-dire, étant un point quelconque du plan* 

 (1 ) QA'i = |*0A, + (1 — |j.) 0A 8 = [* (ÔA, — X.0A 3 ) 



u. — 1 , A\A, , 



Le coefficient géométrique h — n est autre que v . . L angle 



[X A jA 2 



de ce coefficient est Compris entre zéro et z, si le triangle est extérieur, 

 On passe, du reste, des triangles extérieurs aux intérieurs, et inverse- 

 ment, en changeant \j. et, par suite, X ; en leurs conjugués. 



avons dû obéir en cela à des nécessités typographiques, et ngas croyons que les de\ eloppoiiioul.- 

 n'y perdront rien en clarté, pour tout lecteur attentif, un peu initié à la méthode. 



