144 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



4. — La relation générale (1), appliquée successivement à tous les 

 côtés du polygone, nous donne : 



/ OÀ'i = [x(OA, — X.0A 2 ) 



l 0A' 2 = |x(OA, — X.OA s ) 



(2) OA', = |x(OA 3 — a.OA 4 ) 



\ 0A'„ = [j.(OA n — X.OA t ) 



L'addition de ces équipollences montre que 



ZOA' = [j. (1 —X) 20 A = 20 A 



c'est-à-dire que le centre des moyennes distances des points A',, A',,.. 

 est. le même que celui des points A,, A 2 ,. . . 



De ces relations on conclut aussi par soustraction, quels que soient 

 les points A',,, A' g : 



A',, A',, = [j.iAj.X, — X.A p+1 A a +1 ) ; 



c'est-à-dire que, si par un point quelconque U, nous menons US, UT, 

 équipollentes aux diagonales A p A (/ , k p + t A 7 + ,, respectivement, et si nous 

 construisons le triangle SXT, directement semblable à PQR, la droite 

 IX sera équipollente à la diagonale A'^A',, du second polygone. 



o. — Le système (2) va nous permettre de résoudre le problème 

 inverse de la construction que nous venons d'indiquer; c'est-à-dire, 

 étant donnés les points A' t , A' 2 , ... A'„, de construire le polygone pri- 

 mitif A 1 A 2 . . . A„. 



Il suffit, en effet, de multiplier la seconde relation (2) par X, la troi- 

 sième par X 2 , etc. la dernière par X n_1 , et d'additionner, pour obte- 

 nir OA, en fonction de OA',, OA' 2 . . . OA'„ . 



[x(l— X») OA, = ~ ^ OA, = OA', + X.OA' 2 -f . . . + À""'. OA „ 



(3) 0A 1 = ^^(OA' l +X.0A' 2 +...H-X»- 1 . OA'.). 



Celte relation peut encore s'écrire sous la forme : 



A,A,+X.A,A 2 + ... + X- 1 . A t A;>=o 



La formule (3) permet d'obtenir la valeur de OA, en choisissant arbi- 

 trairement le point 0, par de simples constructions successives de 

 triangles semblables ; car les diverses puissances de X sont des rapports 

 géométriques résultant de ces constructions. Avec la règle et le compas 

 on pourra donc, en général, résoudre le problème proposé. 



6. — 11 y a pourtant une exception. Si '/." =1, la valeur de OA ne 

 peut plus se construire ; mais alors, à cause de l'indétermination du 

 point 0, il faut que nous ayons aussi, quel que soit ce point, 



