C.-A. LAISANT. — SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES POLYGONES 143 



(4) OA, + X.OA 2 + . . . -f X" - l .OA' n = o 



Cette relation donne une propriété de la ligure. Quant à l'hypothèse 

 X=l, elle est impossible; car elle exigerait que le point Q tût à l'in- 

 fini, dans le triangle PQR. 



iktc 



Ce cas exceptionnel X n =l correspond à X = s " ; c'est-à-dire que 

 le triangle PQH doit être isoscèle. et que l'angle en Q, multiplié par n, 

 doit donner un nombre entier de circonférences. C'est ce qui arrive en 

 particulier si les points A\, A' 2 . . . A„ sont les centres de polygones régu- 

 liers de n côtés, construits sur les côtés du polygone primitif. 



Ainsi, on ne peut pas se donner arbitrairement les centres des 

 triangles équilatéraux construits sur les côtés d'un triangle ; des carrés 

 construits sur les côtés d un quadrilatère : et, en général, des polygones 

 réguliers de n côtés construits sur les côtés d'un polygone de n côtés. Ces 

 points doivent satisfaire à la relation (4) ; cette condition étant remplie, 

 on peut se donner arbitrairement l'un des sommets A, du polygone 

 primitif, et les relations (2) permettront alors d'en déduire, successive- 

 ment, tous les autres. 



7. — Nous n'avons fait aucune hypothèse sur le polygone AjA^-An en 

 ce qui concerne la convexité. Si nous admettons maintenant qu'il soit 

 convexe, le polygone A^AV-- A'„, que nous avons supposé obtenu 

 par la construction de triangles extérieurs, le sera aussi. Nous pourrons 

 alors répéter sur ce polygone la même construction que sur le premier. 

 Il sera même possible de répéter celte construction sur la série des 

 points A'jjA'jj,.. indépendamment de toute hypothèse, pourvu qu'on ait 

 soin de faire la construction de chaque triangle dans le sens convenable, 

 en suivant le parcours A' t A , . . . 



Nous obtiendrons ainsi de nouveaux points A" t , A" 2 , ... qui nous 

 seront donnés par l'application des mêmes formules (2). Ainsi 



0A" t = [i. (OA'j — X.OA' 2 ) 



c'est-à-dire, en remplaçant OA' t et OA' 2 par leurs valeurs (2), 



(o) Ok'\ = [x 2 (QA, — 2X.OA 2 + X 2 .OA s ) 



On trouverait, en répétant la même construction sur les points 

 OA" t , 0A\,... 



(6) OA"i s= [«,« (OA, — 3X.UA, + 3X 2 .OA 3 — X'.OA,) 



et ainsi de suite. La formule donnant un point A 1 ^ 1 quelconque petit 

 s'exprimer ainsi sous une forme symbolique: 



(7) 0A<?» = [i.p[OA t (1 — X.OA0*] 



en convenant de traiter les indices comme des exposants, à l'inté- 

 rieur des crochets, et de transformer les exposants de OAi en indices. 



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