146 .MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GEODESIE. MECANIQUE 



Il est évident que les points A", , A".,. .. A"„ ont le même centre des 

 moyennes distances que A,, A,... A„ ; et qu'il en est de même des 

 points AjIp), A 2 "'>,.•• A,//', en général. 



8. — Reprenons les valeurs (2) de 0A' 1; OA 2 , et calculons par la 



formule habituelle -j- (OA^c/O A 2 — cjOA\.OA!J (*) l'aire du triangle 



OA'jA',. Nous trouvons ainsi 



OA,A 2 = 



\kcj\i [oAiA,— - ((k — cfk) OA 2 .c/OA 2 + ciX.OA 1 .c/OA 3 — X.c/OA.-OA^ 



-f- Xc/X. OA 2 A 3 , 

 formule qui peut s'écrire 



OAj'A' 2 = \wj\i. OAjAjj -|- Xç/XOA 2 A 3 



- -^ OÀA +\^^ (20A 2 c/OA 2 - OA 1 ç/OA 3 - c j OA 1 .OA 3 )] 



w r x 4- cfk 



= \).cj\). [^0A 1 A 2 + ac/aOA 2 A 3 L^i- OA^ 



+ \ ^^ (20A 2 cyOA 2 -OA 1 cyOA 1 -OA 3 .C70A 3 :+A 1 A 3 .cjA 1 A 3 !] 



On passe de là au triangle Oo'^'j forme par les points a\, a' 2 , cons- 

 truits vers l'intérieur, en remplaçant dans cette formule \). et X par leurs 

 conjugués, et réciproquement. 



En ajoutant les expressions , 'semblables OA^A'.,... OA'nA'j , désignant 

 par S' l'aire de K\A.' 2 . . . A'„ , par S celle de AiA 2 . . . A„, on a 



• r . . * •> .-, x-j-c/x v . ,i x — ci\ , T 



S s m [(1 -f XcjX)S - ^EX-sOA,A H ,+ - — -i-HigrA, A„ + ,r-J 



Pour l'aire s' de a^a*,,,, a' n , il vient 

 6"= K?> [d +VM8- ^j^ SOApA^+j - i 1=^ S(^ApA p+2 )*]: 



De là, 



[S'-j-,' fc= ;,(■> [2 (1 +XciX)S-(X-f-c/-X)SOA p A ; , +î ] 



1 . X — c/X . 



s — s= — [j.cjix ^- S^rApAp+j)' 



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La somme ïlOA p A} )+ 2 est évidemment indépendante dans tous les cas 

 du choix du point 0. 



* Voii BELLAVITIS; Exposition de lu méthode des Bqiàpollences, traduction française, p. 4i>. 

 Nous employons ici, pour plus de commodité typographique, le coefficient i à la place du signe 

 particulier nommé ramun qu'a introduit M. Bcllavitis. 



