C.-A. LAISANT. — 8UB QUELQUES PROPRIÉTÉS DES POLYGONES 147 



On peut enfin donner aux expressions de S' et de s ci-dessus, en y 

 ntroduisant les angles mêmes du triangle PQR, la forme qui va suivre. 



Il suffit pour cela de remplacer ;j. par — £ et X par — ; , en 



- e R et X Dar - - £ .en utili- 

 sant, en outre, la relation JjLp = ^SL = ~- On trouve ainsi 



sin P sin R r/sin P , sin R\ 



in 

 I 



sin P sin R r/sin P sin IA ^a^, v 



S' = ^— ^ — -r— ïï + -r— n S— cosQ.lOA,, A,, +2 



sin 2 Q L\sin R sin P/ 



_|_ sinQ.S^rAp.Ap+a) 8 ]- 



sin P sin R f/sin P sin R\ nvnA » 



.s' = • a n ("— û ~ ■ ~ — 5 S—cosQ.SOApAp+a 



sin 2 Q LVsin R sin P/ 



sin Q.2((/rApA 7 , + 2) 2 J. 



„ sin P sin R f/sin P . sin R\ n vn\ \ 1 



S'-W=2 — — ^- (— u + t— n)S— cos Q.lOA p A p+2 

 1 sin 2 Q L\sin R sm P/ -1 



i sin P sin R , â à . 



en appelant h la hauteur du triangle PUR. 



Nous avons donc le théorème suivant : On construit des triangles sem- 

 blables vers l' extérieur, puis vers l'intérieur, sur les côtés d'un polygone 

 donné ; la différence des aires des deux nouveaux polygones ainsi obte- 

 nus est à la somme des carrés des diagonales joignant de deux en deux 

 les sommets du polygone donné, comme la hauteur d'un quelconque des 

 triangles semblables est au double de sa base. 



9, — Les résultats que nous avons obtenus jusqu'à présent sont 

 généraux. Il suffit de faire varier y. (ou a) de toutes les manières pos- 

 sibles, pour avoir toutes les formes possibles du triangle PQR. 



Par exemple, si ce triangle se réduit à une droite, c'est-à-dire s'il s'agit 

 tout simplement d'une division proportionnelle des côtés du polygone, 

 et non plus de triangles proprement dits, il suffit de supposer que X et 

 y. sont algébriques. 



Si le triangle PQR est isoscèle de base PR, alors 1 = e a . 



S'il est rectangle en Q, on aX = h', / étant algébrique. 



S'il est rectangle en Q et isoscèle en même temps, a = i. 



■K 



S'il est équilatéral , X= \x = e 3 . 



