148 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



S'il s'agit du centre d'an polygone régulier de p côtés, construit sur 



air 



chacun des côtés du polygone A t A 2 ..., on a X = £ '' . 



Nous ne pousserons pas plus loin l'examen de ces cas particuliers, et 

 nous allons maintenant faire quelques applications des divers résultats 

 obtenus, au triangle principalement. 



10. — Triangle. — Nous changerons un peu notre notation, pour la 

 symétrie des résultats, et nous désignerons ici par A' 3 (et non A',), le 

 troisième sommet du triangle construit sur A 1 A 2 . Les équipollences (2) 

 deviendront alors 



OA' a = y. (OA, — X. 0A 2 ) 

 OA', = |& (0A 2 — a. 0A 3 ) 

 UA' 2 = h. (OA 3 - X. OA 4 ) 



On déduit de là (n° 5) 



0A * = * Z£ (0A ' 3 + x * 0Ai + xa,0A2) 



relation qui peut encore s'écrire 



A.A'3 + X. A t A', + X*. A d A' 2 = o 

 ou, en divisant par X, 



X-». A t A' 3 + A,A', + X. A,A' 2 = o 



formule d'une facile interprétation géométrique. 



11. — Si les points A',, A' 2 , A' 3 sont les centres de triangles équilaté- 



raux construits sur les côtés du triangle, X = e " , et nous tombons 

 sur le cas exceptionnel du n° 6. La condition à laquelle les points 

 A'i, A' 2 , A' s doivent satisfaire, est alors 



OA' 3 -j- X. OA', + X 2 . 0A' 2 = o 



ou, en faisant coïncider O avec A' 2 , 



A' 2 A' 3 -\- X. A' 2 A'i =r o 



c'est-à-dire que le triangle A.\A.\k' a doit être équilatéral, propriété bien 

 connue. 



Les puissances successives de X, savoir : 



■in .su .._ sic 



sont alors respectivement 



