C.-A, LAISANT. — SUE QUELQUES PROPRIÉTÉS DES POLYGONES '149 



X , — (X-f 1) ■ , • 1 , > 



1 



et on a \>- : 



En substituant ces valeurs dans les expressions qui donnent les points 

 A",, A" 2 , A" 3 , A'",,.... on reconnaît sans peine que le triangle A'^A^A", 

 s'obtient en taisant tourner A ',A' 2 A' 3 de 180° autour de son centre, que 

 A^A^A", coïncide avec A'tA' t A' t , et ainsi de suite; en sorte que les 

 constructions successivement répétées ne feront jamais tomber que sur 

 les deux triangles A^A^A^ et k'\A." 2 X" 9 . 



Cherchons l'aire OA' 3 A' f en appliquant les formules du n" 8. Elle se 

 réduit, si nous choisissons pour le point celui d'où les trois côtés du 

 triangle A,A 2 A a sont vus sous le même angle, à 



OA' 3 A', = -|~( 0A ' A * + "T ° K ° j ° Aa + ° AaA3 )' 



En écrivant les valeurs analogues de 0A' 2 A' 3 , OA',,A' 3 , et ajoutant, il 

 vient 



A'.A'.A', = -y- A^A, + q|-( (gr OA t ) 2 + (gr 0A 2 )« + (gr OA 3 )* ) 



Pour le triangle intérieur a»',, on trouve, eu suivant la mardi.' 

 indiquée au n° 8, et substituant les valeurs ci-dessus, 



a\a,a 3 = -A- A t A 2 A 3 - ^- ( (gr OA t ) a + (gr 0A 2 )« + gr OA,)«) 



L'addition de ces deux valeurs donne 



A' t A' 2 A' 3 -f- a^a^a^ = A^A, , 

 et leur différence est 



1 



AjA.A'.j — a\a\a s = — AjA^Aj 



-f ^L( (9r OA ( )» + (gr 0A 2 )* + (gr OA 3 ) 2 ) 



Ces formules qui sont soumises, bien entendu, aux conventions 

 habituelles sur les signes des aires, correspondent a deux théorèmes 

 facilement exprimables en langage ordinaire, et dont le second donne 

 une propriété caractéristique assez remarquable du point 0, d'où l'on 

 voit sous le même angle les trois côtés d'un triangle. 



Les formules du n° 8 nous permettent encore d'écrire les aires dont 

 il s'agit sous la forme suivante, en appelant a lf a 2 , a 3 , les trois côtés 

 du triangle primitif : 



