A',A' 2 A' 3 = 4" M 2 A, + A= (a? + »i + a D 



180 MATHEMATIQUES. ASTRONOMIE. GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



y 

 \ i 



a'ja'sja'a = — A,A. 2 A, — — = (aj + a| + al) 



42. __ Supposons maintenant <iue A',, A' 2 , A' 3 , soient les centres de 

 carrés construits sur les côtés du triangle AiA 2 A 3 . On aura dans ce cas 



X = i \). = . e* . et on trouve immédiatement 



A, A', = i. A' 2 A' : , 

 ce qui montre que les deux droites A^, A' 2 A' 3 sont égales en longueur 

 et rectangulaires entre elles, d'où résulte une construction géométrique 

 des plus simples pour trouver Je triangle primitif, connaissant A'.A ' 2 A ',. 

 Si l'on cherche les points obtenus par la même construction successi- 

 vement répétée (n° 7), on trouve 



3 i . , . , 3 . . , 



'A, A'", = -g- A 2 A 3 a= — AjA», 



résultats géométriques qui peuvent encore s'interpréter sans peine. 

 En évaluant les aires OA'jA',,... (n n 8) et ajoutant, on obtient : 



A'jA'.A', = A t A 2 A ;! + -i- (a? + a| + af) 



et pour les triangles intérieurs 



\ 

 a\a\a s = AiA 2 A 3 — (a? -f a| + a|) 



13. — Prenons enfin pour A' lt A' 2 , A' 3 , les sommets de triangles 



équilatéraux. Alors \x == X == e 3 . Les puissances successives de X 

 sont 



X, X — 4, - 1, — à, 1 - X, 1, X, 



Les valeurs de OA',, OA' a , OA' 3 peuvent se mettre sous la forme 



OA', = X. OA 2 + X- 1 . OA 3 

 OA' 2 = X. OA 3 -f X-'. OA, 

 OA' 3 = X, OA, + X- 1 . OA 2 



et l'on reconnaît, en déduisant de là A, A',, A„A' 2 , A 3 A' 3 , que 



A 2 A' 2 _ A 3 A' 3 _ A,A' t _ 2 

 A,A' t A 2 A' 2 A 3 A' 3 



propriété connue. 



