C.-A. LAISVN'T. — SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES POLYGONES 1o1 



L'expression «Je OA, est 



OA, = -i- (OÀ' 1 +X.QA' fi +X-*.OA' 3 ) 



Le poinl A", est donné par la relation 



OA", = X* (OA, — 2X, OA, + X 2 . 0A 2 ) 

 = 20 A t — 0A'„ 



ni 0A '* + 0À "* 



dou UAj = s ; 



formule qui nous montre que le point A, est le milieu de A',A"„ et qui 

 fournit ainsi pour ce point une construction d'une extrême simplicité. 

 L'aire A^A^A', est 



A ,V,V ;! = A A,A,A t + -|- (a? + tg + »§) 



et celle du triangle intérieur a\a\a s 



a\a\a\ = -|- A,A 2 A., - -g- (a? + »î + a i '• 



14. _ Quadrilatère. — Revenons maintenant à nos notations géné- 

 rales. Si l'on considère les centres A',,.... des triangles équilatéraux con- 



struits sur les côtés d'un quadrilatère A, A., A 3 A 4 , il faut faire X = s 

 dans les formules générales. On trouve alors que A, se détermine, 

 connaissant A', A' 2 A', A' 4 , par la relation. 



OA, = OA', + X. A' 2 - (X + 1 ) 0A' 8 + 0A' 4 

 d'où A', A,= A' 3 A' 4 — X. A' 2 A' 3 . 



Pour les centres de carrés construits sur les côtés, il faut faire X = t; 

 on voit alors que la condition, à laquelle les points A' 1} ... sont assujettis, 

 est OA', + 1. 0A' 2 — 0A' 3 — i. 0A' t =o 



ou A', A' s + 1. A' a A' 4 = o, 



en sorte que les deux droites A', A' 3 , A' 2 A' 4 sont d'égales longueurs, 

 et perpendiculaires l'une sur l'autre. 



En répétant la même construction pour avoir le point A"„ on trouve 



A, A , = — -A 3 A,; 



â*A'\+A 4 A" a =o, 



propriétés géométriques très-simples encore. 



il 



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Pour les sommets de triangles équilatéraux, X==[j. = s et 



