1 0"^ MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



0A 1 ===~^(X-'.A,A' 1 +0A' 2 +X.0A' a ) 

 A'ijAj-f-À.AVAj =X" l .A 4 Ai'. 

 Pour l'aire du quadrilatère k\ A' 2 A' 8 A' 4; on a, quel que soit a, 



A i A , A 3 A ,j = 



;a cj \>. |a, A 2 A 8 A 4 (1 + a cj X) + - '-^ (iqrA t A 8 ) s + (gr A s A 4 ) S Y|, 

 et, pour les points intérieurs, 



o' 1 o',o',o' 4 = 



j*c/|* [a,A 2 A 8 A 4 (l-f-Xç/X) __-lfL ((jrA 1 A 1 )*+(9rA 1 A 4 )»)] 



Il suffit de substituer telle valeur de X qu'on jugera lion, pour obtenir 

 par cette formule les aires des quadrilatères construits. 



45. — Hexagone. — Pour l'hexagone, nous ne dirons qu'un mot, 

 relativement aux sommets des triangles équilatéraux construits sur les 

 côtés. Ces sommets doivent satisfaire à la condition 



OA' 1 +X.OA' 2 +X î .0A' s -f-X 3 .0A' 4 +X*.0A' 5 +X s .0A' 6 =o 



ou, X étant égal à s , 



A', A' 4 -j-X. A' a A' 5 +X 2 . A', A' a =o 

 X-*.À' t A' 4 - 1 -A' i A',+X.A' ï A' ( =o. 

 Si on considère les centres des triangles équilatéraux ci-dessus, au 

 lieu de leurs sommets, on trouve pour condition 



OD+X.OE— (X+l)OF=o 



a étant ici z " , et D, E, F étant respectivement les milieux des diago- 

 nales A, A ., A' 2 A' 8 , A', A',. 

 De là 



FD+XFE=o, 



c'est-à-dire que les trois points D, E, F forment un triangle équi- 

 latéral. 



16. — Octogone. — Soient A', les centres des carrés construits sur 



les côtés d'un octogone. Ces points devront satisfaire à la condition 



OA' 1 +OA' l +t(OA' 1 +OA' i ) — (OA'.+OA', — f)(OA' 4 +OA',)=o, 



de sorte que ies milieux D, E, F, H des droites A'jA'jjA'jA'^A'jA',, 

 A' 4 A' 8 , sont tels que les deux droites EF, EH sont égales en longueur, 

 et perpendiculaires entre elles. 



