C.-A. LAISANT. — si ti QUELQUES PROPRIÉTÉS DES POLYGONES 153 



17. — Nous ne pousserons pas plus loin les applications particulières 

 de la méthode que nous avons indiquée. Il est clair qu'on pourrait les 

 multiplier autant qu'on le voudrait, el obtenir ainsi dos propriétés 

 nombreuses de figures, dont quelques-unes ne seraient sans doute pas 

 faciles à établir par les procédés habituels; tandis qu'elles sont ici des 

 conséquences toutes naturelles du calcul, et parfois même intuitives. 

 Il nous semble que ceci est une preuve de plus de l'utilité et de la 

 fécondité de la méthode des Équipollences. 



Pour terminer, nous ferons une remarque générale relativement à la 

 condition (4) 



0A' 1 + à.0A' 2 +X s .0A's+ + a'<-'.OA'„ = o 



•2TZ 



qui doit être réalisée lorsque X = e " . Si le sommet A« du polygone 

 primitif vient à coïncider avec A t , alors le point A',, coïncide ausbi 

 avec Ai, et la condition devient 



OA', + a. OA' 2 + ....+X«- 2 .OAV I + X' l -« 0A, = o 

 Si deux, trois,... p sommets en général, coïncident avec A,, on a 

 OA'i-J-A. 0A' 2 +À 2 .OA' 3 + _f/."-j>-i<)A'"-P 



.^Qn-p + Xn-p+l^ + À"" 1 ) OA 1 =0, 



ce qui donne une propriété du polygone de n-p côtés. 



Au fond, cette relation ne diffère pas de celle (3) qui donnerait OA, 



en fonction de 0A' 1; 0k' n - P dans le polygone de n-p côtés; mais 



elle est peut-être d'une interprétation géométrique plus facile dans cer- 

 tains cas. 



La concordance des deux formules résulte de l'identité 



1 — 1 1 



1 —),"-/' ~~ ~~ A"-/» -j-X"-/'+ 1 -f- -f-A"- 1 



dans l'hypothèse À = £ " 



Si nous supposons, par exemple, n= 6, ;> = l,nous avons la condi- 



tion suivante, X étant e , 



OA'.-L-X.OA^-HX — l)OA' 3 — OA' 4 — X.OA' 5 — (),- l)OA 1 = o. 

 On peut lui donner la forme 



A t A', +A t A' 4 — Aj A' t = a (A t A' 3 + A t A' 2 — A,A' 5 ), 

 c'est-à-dire qu'on peut énoncer ce théorème : 



Soient A^A^As un pentagone; A t A' t A 2 , A 2 A' 2 A S , AgA'gAj des 



triangles équilaléraux construits sur les côtés de ce pentagone. 



