P. DE M0NDES1R. — SUR U.NE NOUVELLE FORMULE ALGÉBRIQUE 157 



En remplaçant dans la formule (6) m par m — "2, j'obtiendrai P,„ _ 2 

 en fonction de A m - 2 et des sommes l\„ _ 4 , P,„_ 5 , 



En y remplaçant, en même temps, m par m — 3, j'obtiendrai P m _ 3 en 

 fonction de A m ~ 3 et des sommes P m _ 5 , P,„ - e, 



Cette première opération me donnera une première formule trans- 

 formée (M^ qui contiendra A' n ~ 2 , A m "" 3 , P m - i, Pm - .-„ 



En éliminant de la formule (M,), Pm - t et P m _ 5 , à l'aide de la for- 

 mule (6), j'obtiendrai une deuxième transformée (M 2 ) contenant A" 1 "-, 



Am -3 Am--4 Am— 5 U „ P . ... 



En continuant cette opération, toujours à l'aide de la formule (6), 

 j'obtiendrai une transformée définitive qui ne contiendra plus que les 

 diverses puissances de A, et dont tous les indices de P auront été succes- 

 sivement éliminés. 



Cette dernière formule sera précisément la magnilique formule de 

 Waring, qui se trouvera ainsi déduite de la formule (M), et que je trans- 

 cris ici en la poussant jusqu'à l'exposant m — 9. 



(W) A" 1 = P,„ + roS a A»- 2 



__ >/(S 3 A"'- 3 



-J- roS, A" 1 - 1 



+ 

 + 



+ 

 + 



+ 



+ 



Ï^OV + MA) 



m {m — 4) (m — 5) „ 

 2~T3 S ' 2 



ïfcfB (2S 2 S S + 2S 3 S 4 ) 

 ^ x o» 2 Oj 



^«t - 7 



wi(?n — /. 

 2 



(S 4 *+ 2S.S, + 2S,S S 



m(m - 6)(w - 7 i(8S 2 %+3S 32 S 



2 . 3 



ru (m — o) (m — 6) (m — 7j „ 

 2.3.4 2 



