É. LUCAS. — SUR LA THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS, ETC. 161 



nombres impairs consécutifs, très -grands et premiers. En outre, on sait 

 encore démontrer qu'une fonction rationnelle de p 



N=i(p), 



ne peut continuellement donner des nombres premiers N, puisque l'on 

 a, pour N premier 



¥(p + KN) = o, (Mod. N). 



Il est donc difficile d'arriver à la loi de distribution des nombres pre- 

 miers dans la série ordinaire. Cependant il paraît bien naturel d'étudier 

 les nombres premiers , d'après leur loi de formation ; aussi l'étude 

 approfondie de la méthode d'Eratosthène a conduit le prince A. de 

 Polignac à d'intéressantes propriétés des suites diatomiques (1) ; à la 

 même époque, M. Tciiebichef arrivait, par des considérations différentes 

 à la démonstration, de ce théorème remarquable (2) : 



Pour a>3, il y a au moins un nombre premier compris entre a et 

 2a— 2. 



On déduit immédiatement de là que le produit des n premiers nom- 

 bres ne saurait cire une puissance, ni un produit de puissances, ainsi que 

 l'a montré M. Liouville (3). En résumé, toutes ces recherches sont 

 basées sur la considération des progressions arithmétiques. 



On doit à l'illustre Fermât des recherches profondes sur la doctrine 

 des nombres premiers et basées sur la considération des progressions 

 géométriques. Dans cet ordre d'idées, différent de celui qui précède, la 

 vérification des nombres premiers très-grands de la forme a' 1 — b n , et 

 la décomposition des nombres de cette forme en facteurs premiers, se 

 trouve considérablement simplifiée par l'introduction d'un calcul sem- 

 blable au calcul logarithmique, ainsi que nous l'avons fait voir, dans 

 notre communication au Congrès de Clermont-Ferrand. Cette nouvelle 

 méthode repose sur l'inversion du théorème de Fermât. En désignant 

 par a un nombre inférieur à p, on sait que l'on a, pour p premier, la 



congruence 



a p-i _1 = 0, (Mod.p); 



mais ce théorème n'est pas exclusif, comme celui de Wilson; ainsi, par 

 exemple, on a : 



236=1, (Mod. 37) et 2»? = 1, (Mod. 73) ; 



et, par conséquent : 



237x73-1 =4, (Mod. 37X73). 



Cependant, on peut énoncer le théorème suivant, que l'on doit consi- 

 dérer comme la proposition réciproque du théorème de Fermât : 



(1) A. de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Paris, 1851. 



(2) Journal de Liouville, t. XVII. Paris. 



(3) Journal de Liouville, 2 e série, t. II. 



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