162 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Si a x — 1 est divisible par p, lorsque x=p — 1, et n'est pas divisible 

 par p ; pour x diviseur de p — 1, le nombre p est premier. 



On sait que, dans ce cas, a est une racine primitive de p; d'ailleurs 

 cette proposition rentre dans le théorème fondamental, démontré dans 

 le recueil de l'année dernière. 



Cette méthode conduit encore à la démonstration des théorèmes sui- 

 vants : 



Théorème I. — Si A et Q désignent deux nombres quelconques pre- 

 miers entre eux, la série 



I*o» l'i> 1*2» • . • • l*n , • • • 



dans laquelle on a 



r =A, r 1 = A 2 + 2Q, r n+1 =r n 2 — 2Q 2 " , 

 contient, comme diviseurs, des nombres premiers tous différents. 



Théorème II. — Soit le nombre p = A.2'' — l, et 



\o q = 0> (Mod. 4), et A = 3 ou A =9, (Mod. 10), 



2° qHI, (Mod. 4), et A = 7 ou A = 9, (Mod. 10;, 



3° q = 2, (Mod. 4), et A = l ou A = 7, (Mod. 10), 



40 q = 3, (Mod. 4), et A^l ou A =3, (Mod. 10); 



on /orme tes q premiers termes de \p, série 



r 4 , r 2 ,r 3 , r*,... 



par la relation de récurrence 



j.u+i — ^ __2 ? 



te nombre p esd premier, lorsque le rang du premier terme divisible par 

 p est égal à q; si a<p désigne le rang du premier terme divisible par 

 p, les diviseurs de p sont de la forme 2a AK-f- 1, combinée avec celle des 

 diviseurs de x 2 — 2y 2 et de x 2 — 2Ay 2 . 



Exemple . — Soit le nombre p = 3 . 2 11 — 1 = 6i 43 ; on forme la série 

 des résidus 



4, 18, 322, — 749, 1986, 388, 3110, 3016, 4614, 499, ; 

 donc p = 6143 est premier. 



Théorème III. — On obtient un théorème analogue au précédent, en 



prenant 



p=A.2<i-f-l, 

 avec les valeurs 



1° q=Eo, (Mod. 4), et A = 5, ou A=3, (Mod. 10); 

 2° q==i, (Mod. 4), et A=§, oit A = 9, (Mod. 10); 

 3° q=2, (Mod. 4), c£ A = 5, ou A = 7, (Mod. 10); 

 4° q=3, (Mod. 4), e£ A = 5, ou A = l, (Mod. 10); 



