Ë. LUCAS. SUR LA THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS, ETC. 163 



Théorème IV. — Soit le nombre pr=A.3'' — 1 

 avec les ni leurs 



1° q = 0, (Mod. A), et A = 4 ou A = 8, (Mod. 10), 

 2° q = l, (Mod. 4), et A=6 ou A = 8, (Mod. 10), 

 3° q = 2, (Mod. 4), e* A = 2 ou A =6, (Mod. 10), 

 4° q = 3, (Mod. 4), c/ A = 2 ou A =4, (Mod. 10); 



on forme les q premiers termes de la série 



r o> r n r 2 , . . . Tn ,. . . 

 par /a formule de récurrence 



rwH = r£+ 3rf, —3, 

 déduites de. la triplication des [mictions numériques, avec les conditions 

 initiales 



r ° - âAv/H ' Fl (i+^A-ji-^A ' 



le nombre p es£ premier, lorsque le rang du premier terme divisible par 

 p occupe le rang q ; si a < q désigne le rang du premier terme divisible 

 par p, /es diviseurs de p .son/ de /a /&me linéaire 3aAlv-f 1 combinée 

 avec celles des diviseurs quadratiques correspondants. 

 Exemple. — Pourp = 2.3 7 — l les résidus sont 



2,17,1404,0,... 

 donc p est premier, puisqu'il n'a pas de diviseur inférieur à sa racine 

 carrée . 



Théorème V. — Un a un théorème analogue au précédent en suppo- 

 sant p = A.3? -\-i, avec les valeurs 



q=0, (Mod. 4), et \~ 0, ou A ^5, (Mod. 10), 

 q.= i, (Mod. 4), et A=0, ou A=6, (Mod- 10), 

 q=2, (Mod. 4), e* A = 0, ou A = 2, (Mod. 10), 

 q = 3, (Mod. 4), et A = 0, ou A = 4, (Mod. 10), 



et la relation de récurrence 



v n +i = v« 3 — 3 v u 2 -}- 3. 

 TfJêorème VI. — Soit le nombre p = 2 A. 5<i + 1 ; on forme la série 

 limitée à q termes 



v , v t , v 2; v« 



auec la relation de récurrence 



v„ + i = v n s -f 5 v„ 4 -f- 5 v„ , 



et les conditions initiales 



(1 ^^Ty-H-M' (1 + js> - (i - y/si"* , 



v -=- — rw~ ''"- i^r ' 



le nombre p est premier lorsque le rang du premier terme divisible par 



