164 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



p est égal à q; il est composé si aucun des termes n'est divisible par p, 

 enfin si a < q désigne le rang du premier résidu nul, les diviseurs pre- 

 miers de p S07it de la forme 2 A. S a R ± 1. 



Dans ces théorèmes, nous n'avons considéré que la série de Fibonacci ; 

 les autres séries donnent lien à des théorèmes analogues. 



Nous avons donné dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences 

 (10 juillet 1877), l'application de cette méthode à la recherche des nom- 

 bres premiers, delà forme 2 2 ' 1 -f- 1, et dans lesquels on peut diviser 

 géométriquement la circonférence en parties égales. Le P. Pépin a pré- 

 senté à l'Académie des sciences (Comptes rendus, Q août 1877), une au- 

 tre méthode que nous allons discuter. La première partie du théorème 

 énoncé par le P. Pépin se déduit de notre théorème fondamental : Si 



le nombre entier ; est divisible par p, sans nu un seul 



a — b r ' 



des nombres de même forme dont l'exposant est un diviseur de p ± { 

 le soit, le nombre p est premier (Comptes rendus, o juin 1876); il suffit de 

 supposer, avec les signes inférieurs, a = 5, 6 = 1 et p = a n == 2' 2 " -f- 1. 

 Quant à la seconde partie du théorème du savant P. Pépin, elle résulte 

 immédiatement de la forme de a n — 1, et de la loi de réciprocité, dans 

 l'hypothèse de a n premier. Il est d'ailleurs facile de donner une série de 

 théorèmes analogues non-seulement pour les nombres a n , mais dans la 

 recherche de la condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre 

 2 n a p rb 1 soit premier, lorsque a désigne un produit de facteurs 

 premiers donnés, et p un nombre premier arbitraire. On a, par exem- 

 ple, les théorèmes suivants : 



Théorème VII. — Lorsque p = 10 q -f 7 ou 10 q -f- 9 est premier, 

 le nombre 2 p — 1 est premier, si l'on a la congruence 



et réciproquement. 



Théorème VIII. — Lorsque p = 4 q -f- 3 est premier, le nombre 

 2 p -f 1 est premier, si l'on a la congruence 2p — 1 = O, (Mod. 2 p -f- 1), 

 et réciproquement. 



Théorème IX. — Lorsque p=4 q + 3 est premier, le nombre 2p — 1 

 est premier, si l'on a la congruence 



—[ (1 + 3") P - (i _ s /^ /J ]=o, (Mod.2 ,4-1), 

 et réciproquement. 



