É. LUCAS. — SUB LA THÉORIE DES NOMBRES PREMIERS, ETC. 165 



On effectue les calculs par les formules d'addition et de multiplica- 

 tion des fonctions numériques. 



On doit cependant observer que si la voie indiquée par le P. Pépin 

 conduit à une forme plus claire et plus précise, donnant, comme le 

 théorème de Wilson, la condition nécessaire et suffisante pour que le 

 nombre a n soit premier, il paraît cependant préférable de s'en tenir, 

 dans l'application, à la forme ambiguë et indécise que nous avons laissée 

 aux théorèmes énoncés précédemment. En effet, ces théorèmes reposent 

 sur une hypothèse, celle de supposer premier un nombre pris arbitrai- 

 rement dans une forme donnée; mais il est plus probable de supposer 

 le nombre composé, même dans le cas de cette forme transcendante de 

 (in. Par conséquent, au lieu de reculée l'affirmation que l'on cherche, 

 jusqu'à l'extrême limite, par l'emploi des non-résidus quadratiques, il 

 serait plus pratique d'employer l'un des y (2"-') nombres qui appar- 

 tiennent à l'exposant 2"-' pour ie module a„ supposé premier. On abré- 

 gerait l'opération de moitié, mais cette recherche directe est fort dilli- 

 cile. On s'assurera cependant que ; par notre procédé, il suffit, pour 

 démontrer que a. 2 , a 3 ,a^, sont premiers, d'exécuter respectivement 3,0,12 

 opérations au lien du nombre maximum 4, S, 16, qui lui correspond 

 dans l'autre méthode; quant aux nombres a s et a,., ils sont composés. 



Dans la Prœfatio generalis des Cogitala pkysico-mathematica (p. 11), 

 le P. Mersenne affirme que les nombres premiers de la forme 2" — 1, 

 n étant premier, correspondent aux valeurs 



n = 1, % 3, 5,7, 13, 17, 10, 31, 67, 127, 257 , 

 et qu'il n'existe pas d'autres nombres premiers de cette forme pour 

 n inférieur à 257. Au moyen d'une méthode fort simple, M. Landry 

 vient de vérifier en partie l'assertion du P. Mersenne, en donnant la 

 décomposition des nombres de cette forme pour les valeurs de n 



n = 37, 41, 43, 47, 53, 59 (1); 

 ces valeurs, à l'exception de n = 61, représentent toutes celles qui sont 

 comprises dans l'intervalle de 31 à 67. Il résulte de ce passage remis 

 en lumière par M. Genocchi, que le P. Mersenne était en possession 

 d'une méthode importante dans la théorie des nombres ; mais, malheu- 

 reusement, cette méthode ne nous est point parvenue. 



Nous ajouterons encore que 2 73 — 1 est divisible par 439, 2 79 — 1 

 par 2G87, 2 113 — 1 par 3391, et que le théorème suivant vient ajouter 

 de nouvelles preuves à l'appui de l'assertion de Mersenne : 



Théorème. — Si A q -{- S et 8 q -j- 7 sont des nombres premiers, le 

 nombre 2'- f v+3 _ \ es t divisible par 8 q + 7. 



(1) La décomposition de 2 31 — 1 avait été donnée antérieurement par Fermât, et celle de 2 41 — 1 

 par Plana. 



