166 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE. MÉCANIQUE 



En effet, d'après le théorème de Fermât, on a : 

 2sï+6 = i t (Mod. 8 q + 7 ) 

 et, par conséquent, 



(2*<H-s _|_l) (24 9 +3 _ 1) = o, (Mod. 8 7 + 7); 



mais on sait que le nombre 2 est résidu quadratique de tous les nom- 

 bres premiers de l'une des formes 8 n -f- 1 et 8 n -f- 7; par consé- 

 quent, 



2^+3 _ 1= o 5 (Mod. 8 </ -f- 7). 



En consultant la table des nombres premiers, on en conclut que 

 pour les valeur de w, successivement égales à 



11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, 359, 419, 431, 443, 491, 

 les nombres 2" — 1 sont respectivement divisibles par les facteurs 

 23, 47, 167, 263, 359, 383, 479, 503, 719, 839, 863, 887, 983. 



Quant à l'assertion qui concerne le nombre 2 257 — 1, et que Mersenne 

 suppose premier, on doit observer que ce nombre a 78 chiffres, que sa 

 racine carrée en a 39 ; par conséquent, en supposant que ce nombre 

 soit premier et en admettant que l'on n'ait à essayer qu'un nombre 

 premier pour chaque million de nombres consécutifs, et que chacune 

 des divisions du nombre essayé de 78 chiffres se fasse en une heure, 

 il faudrait à l'humanité tout entière un temps supérieur à un million 

 de millions de siècles. 



Il nous reste à indiquer la méthode à suivre pour arriver à la vérifi- 

 cation des nombres de la forme p = 2^+' — 1, tels que 2 61 — 1, et 

 2 257 — 1. En supposant p premier, — 1 est non résidu de p, et 2 est 

 résidu; donc — 2 est non résidu de p; par conséquent, la série pour 



laquelle 



P = 2, Q= 3, A = 2 2 X(— 2) 



est propre à la vérification des grands nombres premiers de cette forme. 

 Mais les formules de duplication donnent : 



v 2 x +1 = [va? - 2 Q 2 * , 



et, puisque l'on a Q = — 3, le calcul successif des résidus comporte 

 deux opérations à faire, au lieu d'une. 11 est donc préférable de pren- 

 dre pour point de départ l'équation 



x 2 = 4 x — 1 , 

 dans laquelle 



a = 2 -f s /37 & = 2 — N /37 A = 2 2 x 3. 



Par la loi de réciprocité, on voit que si p = 2^+ 1 — 1 est supposé 



premier, on a : 



