i"4 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



1 1111 



(*-tX 4 -*X 4 -t)- 



de sorte que, si 



1111 î 



Alors 



1 4 1 l 1 



En = / S» — l S 2 » — lS 3 n û- l S 8 n ~j — ^- ^ S 6 n — l S 7 u -|- etc. 



ce qui donne la valeur de S n exprimée en série régulière de JS n , lS%n 

 etc. : c'est le théorème auquel se rapporte le titre de cette note. 



On a: 



_ 1 (2*)*» B w 



2 " ~ 2 1.2.3...2» ' 



où B„ dénote le n me nombre de Bernoulli, de sorte que si n est pair, 

 le théorème donne la valeur de Sn en fonction des logarithmes des 

 nombres naturels, des nombres de Bernoulli, et de %. 



J'ai calculé avec vingt-quatre décimales les valeurs de l S a , /S 4 ... /S 80 , 

 et, au moyen de ce théorème, j'ai déduit les valeurs de S a , S 4 ... £ 80 , 

 aussi avec vingt-quatre décimales. L'exactitude de ces valeurs fut vérifiée 

 par substitution dans la formule 



qui est facilement démontrée, en prenant les logarithmes des deux 

 membres de l'équation 



I 1 i \ 



= *+-*+-$■ + -? + «<■ 



('-tX'-tX'-t) 



L'accord était parfait jusqu'à la 24 ,ne décimale. 



Dans son Jntroduclio in Analysin Infinitorum, t. I, § 282, Euler a 

 donné une table des valeurs de 2 2 ,i] 4 ... à quinze décimales, et comme 

 cette table contient plusieurs inexactitudes, je donne ici les vraies va^ 

 leurs avec ce nombre de décimales. 



