Î7(S MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQ1 E 



où 1, tù lf (.)., soni les racines cubiques <lr l'unité, 



(a -f 6 -f- c 4- d) 



(a — 6 -j- c — (,) 

 (a + ib -Y i*c + i*d) 

 (a — ib -\- i 2 c — i 3 d) 



>ù 1, — I, i, — i sont les 4 mc racines de l'unité; et ainsi de suite. J'ai 

 été porté à considérer les déterminants où les éléments de la diagonale 

 principale sont 



a — x, c — x, b — x 

 a — x, c — ce, a — x, c — x 



et ainsi de suite, et j'ai trouvé que 



a — x, b, c = — \x — (a -|- b -\- c)\ 



b, c — x, a \x- — (a -)- (à±b -j- w^c) 



c, a, b — ce (a -f- (o.,6 4~ w 2 2c ) ' 



a — x, 6, c, d = \ x — (a -)- 6 -|- c -j- d) \ 



b, c — ce, r/, a ce — (a — b -\- c — d)\ 



c, d, a — x, b i ce 2 — (a -f- ib -{- i-c -f- < 3 ^) 

 (/, o, 6, c — x (a — z'6 -f- i s c — t 8 d) ! 



où la loi générale est évidente. En effet, il y a toujours un on deux 

 facteurs linéaires, et les facteurs quadratiques sont de la forme 



ce 2 — (r/-f /uo-f cw 2 -f etc. ) (a4-&w -1 +C(i) -2 -f-etc. l 



où o) indique une /t" 10 racine de l'uni Lé. 

 Par exemple, 



\x—(a + b + c+ d + 



i 



a — ce, &, c, d, c 



6, c — x, r/, /•, a 



c, rf, e — ce, ci, b 



d, e, a, b — x, c 



e, '/, &, c, d — x 



e)\ 

 -(a 4 «1&+ «i*c+ <Vd-|- w/e) 



(a + oj,-'/) -f- w,--c -f- «,-w -f- ( °r v i i 

 J x 2 — (a -f œ a 6 -f- w a 2 ç -f- to 2 8 d + w 2 *ej 

 i a -f- (o.r'6 -j - w i ~ 2c 4~ w a -3 d 4- w 2 _v ' ' 



ou 



tf- 



9-ÎT 



cn.s- V4- ;x '" TT» 



•> 



2* . . 2* 



' = COS -r, / Sîïl 



4w . . . 4- 

 (o., = cas — 4- ? si n — - 



. A t. . . 4 fi 



m.. - — co.v -s- — a stn -=- 

 5 5 



o 5' 



Ainsi le déterminant de n me ordre a toujours un ou deux facteurs 



