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Soil x une variable auxiliaire donl la différentielle dx soit égale au 



du, , . • , . . . 



rapport constant - — î-, le système considère, pourra, -race a cette 



Vy, — I* 



supposition, se mettre nous la forme très-simple : 



(1) — r- = dx 



où l'indice i peut acquérir toutes les valeurs entières depuis I jusqu'à 

 n. Cherchons si, en donnant aux coefficients x des valeurs convenables, 

 ou ne peut pas satisfaire aux équations (1) par ils intégrales de la 

 tonne : 



(2) a,//, -f.a,//., 4. x a y a -f + *„»/„ + a = 



A cet effel dilférentions celte équation, nous aurons : 



*,<///, + 7./h/ : -- y.'hi; + ....+ % n dy n -f //,</*, -f- ijM, + ;/,</z 

 -(-.... y n da n -\- da. = 



ou en remplaçant les dy par leur valeur tirée de (1) : 



t P(«iî/i + Ma + "Wi +-...+ *#») ^'' — (Pi a i + P 2 a *) 



] + Ps«8 + ....+ Pa«„) dx + /,,</*, + //.//a, + y,ck, -fJ = 



( -f- >J'f y -n + da. } 



ou, enfin, à cause de l'équation (2) : 



(— Pa — P.a, — !>,?., — -- V„x„) dx + //,</*, + y M.. + 



-f //„(/x„ -}- da = 



pour satisfaire à cette équation quels que soient //,, ;/, .... ;/„, an- 

 nulons les coefficients de ces inconnues, nous aurons : 



- EL + A,a + A," a, + A^a, +....+ A,<"'a„ = 

 dx 



(3) |~ £ + A 2 a + A 2 .% + A «% +. . . .+A 2 ,)« ft = 



- ■— + A n a + AJ'la, + A,/%-, + ....+ A,,"' a„ = 



Ces équations sont linéaires et du 1 er ordre, il est aisé d'en avoir les 

 intégrales générales. Si l'on désigne par s, s ± , s 2 .... s n les n -j- 1 

 solutions de l'équation algébrique : 



s+A, A/» A,- V 1 '! 



A 2 —s + A,i'i A/) A 2 "<> 



A a A,»i -s + A^ A 3 "" j =0 



A n A,,' 1 ' A.' 2 ' — 1b + A«'.< 



on aura, en général : 



