IABLONSKI. — SIU UNE CLASSE D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 193 



nous aurons Ki.v -f- h) — F(s) = 



et par suite si h tend vers : 



ds 



= (l 



et cette équation est celle par laquelle on doit remplacer la relation 



F (s) = F(s ± ) qui s'évanouit pour s 4 = s. 



Si 5 X et 5, tendent en même temps vers s, c'est-à-dire si l'équation en 5 



admet une racine triple, on peut imaginer que s a tende d'abord vers $ t ce 



. dF(s ± ) 

 qui tournit ,/ 1; = 0. 



»(Sl) 



Si l'on imagine ensuite que 5,, tende vers s, et que l'on tienne compte 

 de l'équation — - — = 0, on en tirera : 



qui jointe à 



formera un système apte à remplacer les équations : 



F(s)=F(s 1 ) = V(s i ) 



qui se sont évanouies par la supposition .s = s t = s 2 . 



En général, si l'équation en s admet m racines égales, on aura, en dési- 

 gnant par s it s s *,._,„, les racines distinctes: 



F(s) = Fis,) = F{s 2 ) = = F(s n _, n ) 



dF A d*F d m ~ l F , , 



et — - — == 0, — - — = — ; r- =0, à- étant la racine 



ds ds 2 ds m ' i 



multiple et, dans le cas particulier où toutes les racines sont égales, le 

 système intégral aura la forme : 



iL = o -*L = „ *L =-o 



ds . ' ds 1 ds" 



Alors l'exponentielle e sx qui sera en facteur dans les premiers mem- 

 bres pourra être supprimée et le système deviendra algébrique par 

 rapport à x. On pourra donc exprimer toutes les inconnues y, y z 

 .... y„ en fonctions algébriques de x et par l'élimination de cette 

 variable on obtiendra des intégrales algébriques par rapport aux incon- 

 nues, ce qui n'a lieu, dans le cas général, que tout autant que toutes 

 les racines de l'équation en s sont commensurables, comme on le voit 

 sur l'équation (4). 



13 



