194 MATHEMATIQUES, AMIUh\oM!E. GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



M. aOHIEREE DE LOMCHAMPS 



Profe u âe mathématiques spéciales an Lycée <le l'oitiers. 



NOTE SUR L'INTÉGRATION DUNE ÉQUATION AUX DIFFERENCES FINIES. 



— Séance du 89 août 1877. — 



1. L'équation, dont nous voulons parler, a été rencontrée, pai nous, 

 dans une étude §ur les nombres de Bemoulli, étude qui paraîtra pro- 

 chainemenl dans les Annales de l'École normale. Cette équation est : 



(1) (x + 1) F (x)=l+(x— 1) F (x — i) 



La fonction F, ainsi définie, jouit de cette propriété curieuse, savoir : 

 que si deux termes consécutifs de la suite, 



F(l), F(2), F(3), F (as) 



sont égaux, la fonction F est une constante . 



En effet de (1), on déduit : 



(2) x¥ {x — l) = l+(ac — 2) F U- — 2) 



Retranchant (1) et (2), il vient : 



(<i; _L-i) F ( i r) = (2.r— 1) F (x— 1; — (a— 2) F (as— 2) 



et si Ton suppose, 



F (a; — 1,) = 1 («—2) 



on a bien, 



F (ce) = F (a — 1) 



Ainsi toutes les fonctions 



F(ae— 1), F (05), F(œ+1), 



sont égales. Un voit de même, que si, 



F (ce) ==J(x— 1) 



on a, _, . 



F (ce — 1) = ¥{x— ) 



d onc toutes les fonctions, 



Yi.r—i), F (ce— 2), F (a;— 3), .- 



sont égales : c'est la propriété annoncée. 



2. Pour intégrer cette équation, nous posons 



F ,. n = V(.r. — l)-fç(jc); 



L'équation CI ). devient : 



2F(.r— l)=l— (•'•+1 )"■?< ■'■> 



et par conséquent, 



1 2F (ob)= !—(*+*)?(*+*) 



2<p(o;) = (o;+l)?(o;)— (oj+2) ? (jj+ 1) 



