G. DE LONGCHAMPS. — INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION 105 



OU, 



?(x-\-\) X — 1 



De celte relation, on tire successivement: 



9 (ce) _ x — 2 



..*»..• 



9 (3) _ 1 

 ? (2) ~ 4 

 Multi|)lions, membre à membre, ces égalités, on trouve : 



?te+')=?ta.» x . (j +i'^ +8) 



3. La Ibnction 9, étant déterminée, nous écrirons la suite d'égalités: 



F(x)=o(x) + F(x- 1) 

 F(œ— l) = ç(a;— 1) + F(ic— 2) 



F(2) = 9 (2) + F(l) 

 et, en Les ajoutant, 



F ^= F( "+ l - 8 - 8 ^ a (rô+ôi+ •- + (,-1^+1, ] 



La constante arbitraire F (4), dépend de la constante arbitraire 9 (2) 

 déjà introduite par l'intégration de la fonction 9 ; on a en effet simul- 

 tanément : 



F(x) = F{x— l)-f-9(a?) 

 et, 



(J5+4)F^; = 4 + (J5— 4)F(jc— 1) 

 pour toute valeur de x : faisons x = % on aura : 



F(2)=F(l) + <p(2) 



3F(2, = 1 + F(4) 

 et par conséquent, 



3 ? (2) + 2F(4) = 4 



on a donc définitivement : 



1 — 3K r 1 1 11 



F(x-) = — T - + 4.2.3R Lqp + ^jj + . • • • (x _ i)x{x + i} \ 



4. C'est, d'ailleurs, un résultat connu (.*) que la série : 



1 1 1 



4.2.3"'" 2.3.4"^ "" ~^ (x-l)x(x-j-l) 



*) Catalan. Manuel des Candidats à l'École Polytechnique, p. 61. 



