196 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE. MÉCANIQUE 



est susceptible d'être sommée. Il suffit, de partir de l'identité : 



i !• 



1 _ 2 2_ 



(as — l)as(as-|-l) (x — l)x x{x-\-ï) 



et l'on trouve : 



I 1 1 1 1 



1.2.3 ~^~ 2.3.4 +'•••+ (x—i)x(x+l) ~1~ "2x(x-\-\) 



On a donc pour l'intégrale cherchée : 



F (x) = t=£* + l .2.3K [i - . /.J 



2 L4 2jc(as-|-l)J 



ou enfin : 



cw ! C 



2 x (cc+1 ) 

 dans laquelle C est une constante arbitraire. Quant on choisit, 



C = o 

 alors F (x), est constant. C'est le cas singulier que nous avons signalé 

 au début de cette note. 



5. La marche que nous avons suivie, dans cette intégration, nous 

 semble susceptible d'être appliquée à un grand nombre d'équations aux 

 différences finies. Sans entrer dans de plus longs développements, nous 

 ferons seulement comprendre; d'une façon générale et superficielle, cette 

 méthode que nous croyons nouvelle, méthode qui a pour but, l'inté- 

 gration des équations aux différences finies \ i. 



Considérons l'équation très-générale : 



1 1 ) («œ+p) F (x) + (« ac4-p') F (ce— 1) = ?(as) 



et posons, à l'imitation de ce que nous avons fait tout à l'heure, 



«F(as) + a F(x—\) = à(x) 

 on aura , 



p F (x) -\-^'V (x—i)-\-x'b( x) = <f [x) 

 par conséquent, 



pF (x — 1) + p' F (x— 2) + (as — 1) <|» (as— 1) = ? (as— 4 ) 



Multiplions ces deux dernières égalités, respectivement, par a et a' et 

 ajoutons, il vient : 



(2) (p-J- ocas) <]< (as) -|- (P'-f-oc'as — a') ^ (x — l)=a$ (as) + a ' r ( œ — *) 



Dans cette équation, <j> est la fonction qu'il faut intégrer; le second 



membre, 



a <p (as) -f- « ? (a; — 1), 



(*) "Voyez sut" cette question. Laplacb; Œuvres, t. 7; £tvr< premier, p. 163. — Lagrangi 

 Œuvres, t. 4 : Sur les mites récurrentes ; p. 1S1. — am>hk ; Thèse d'A nalyse, Gauthier- Villars, \sn. 



