G. DE LONGCHAMPS. — INTÉGRATION u'ilNE ÉQUATION 197 



est une fonction connue; en comparant les équations (1) et (2), on 

 reconnaît que cette dernière est de même forme que l'équation propo- 

 sée; pourtant, et il convient de souligner cette remarque, le coefficient 

 de ù(x — 1) n'est pas égal au coefficient de F (x — 1), et ce dernier a 

 été diminué de a. En répétant K t'ois cette transformation, on arrivera 

 à une fonction M (as), qu'il faudra intégrer et qui sera donnée par l'équa- 

 tion aux différences Unies. 



1 3) (xx + S) M (x) + (a'a; + p- Ra '] M < x - 1) = F ( œ ) > 



dans laquelle, K est arbitraire, mais entier. On a donc ainsi introduit 

 une constante arbitraire dont on pourra disposer pour simplifier l'inté- 

 gration de l'équation (3). Par exemple, si l'on suppose, 



a = a 

 en prenant, 



a 



et en supposant ' -, nombre entier, l'équation (3) deviendra : 



F (ce) 

 M(cc)+M ce— 1 = — — 7- 



' a x -f- (J 



d'où l'on déduira l'intégrale 



lla,, " L+ «O!+0 «œ + p — a^aœ + p— 2« 



La fonction M étant déterminée on n'aura plus qu'à intégrer des 

 équations différentielles à coefficients constants telles que, 

 aF(cc)-|-a'F(ce— l)=<|>(ce) 



Notre procédé permet donc, rfr/»\ les conditions que nous venons de 

 définir, de ramener l'intégration de l'équation, 



(a ce + 6) F (ce) + (a x -f fi') F (.x — 1 ) = ? (a?) 

 à celle d'une équation, de même genre, mais dans laquelle, les coeffi- 

 cients de F (ce) et de F (ce — 1), sont des constantes. Dans un prochain 

 travail, nous appliquerons les idées précédentes; à quelques équations 

 différentielles et particulièrement à l'équation, 



ce F (ce) + (a — 1) F'(x + 1) = a 

 considérée par Laplaee (*). 



(*) L.APL4CE. Œuvres. Livre VII, p. 463. 



