IM MATHÉMATIQUE- AsTIti iNnMlE. GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



M. JABLONSKI 



Directeur âe l'École Casirafr Delavigne, au Havre. 



MÉMOIRE SUR L'EXISTENCE DE L'INTÉGRALE. 



— Séance lit 25 août IH~~. — 



(> mémoire ;i pour objet une démonstration nouvelle de l'existence de l'inté- 

 grale ou du système intégral, dans le cas le plus général. 



Il se compose de trois parties : 



•1° Dans la première on démontre que tonte fonction bolomorphe u d'une 

 variable z peut, par le seul principe de l'intégration par parties, être misesous 

 la l'orme : 



1 (* _ d" + ■ u 



m 



V étant la fonction entière donhée par la formulé de Mae-Laurin. 

 2° Dans la seconde partie, on l'ai! voir que l'on peut étendre aux fonctions 



holomorph.es (l'une variable imaginaire cette proposition connue pour les fonc- 

 tions réelles d'une variable réelle, à savoir que : Si X conserve le même signe 

 entre les limites d et x", on a : 



/X -•»; 



XY . dx = Yi / X 



X dx 



Yi étant une valeur moyenne de V entre les mêmes limites. 

 Il en résulte la possibilité de mettre la fonction u et général — , ■■■ ,sons lit 



forme 



<l>' Y . I A 



dzP ' 1.2... (n — p) F ' 



e /( étant, comme on ledémontrë, iihe fonctibn holomorphe de z . L'indicé p peut 

 prendre tbutès les \aleurs entières jusqu'à n. 



3° Ces formules permettent de changer [[ne fonction F lu. — ; — ■ , — y— — . 



J ° x ' </; dz 1 



dP u d" u , i ■ • , - 



..., — : ..... — : . s) lioloniorpbe par rapport a u. a ses dérivées cl a z. 



dzP dz n 



en une autre 4* (U, 9, 8 1 , . . . /( ,... 8„ , z) holomorphe par rapport à U el à z; 

 l'équation F est donc ramenée à u> el comme celle-ci admet toujours 

 pour solution, c'est-à-dire pour valeur de U, au moins une fonction holomorphe' 

 par rapport à z, il s'ensuit que F admet au moins u\\i' intégrale u, holo- 

 morphe aussi par rapport à z. 



Les mêmes transformations appliquées à un système d'équations différentielles 

 a une seule variable indépendante le changenl en un système d'équations ordi- 



