G. FOURET. — SLR LES NORMALES AUX SURFACES ALGEBRIQUES 20"> 



M. G. FOTTRET 



Ancien élève de l'École polytechnique. 



THÉORÈMES SUR LES NORMALES AUX SURFACES ALGEBRIQUES. 



— béance du 29 août 1877. — 



1. — Le point de départ du présent travail a été puisé dans une note 

 de M. Mannheim, publiée en 1871 dans les Comptes-rendus de l'Acadé- 

 mie des sciences, et avant pour titre : « Quelques résultats obtenuspar la 



considération du déplacement infiniment petit d'une surface algébrique (1 ). » 

 La surface considérée par M. Mannheim est définie uniquement par son 

 ordre ; et par suite les» théorèmes établis, malgré leur grande généralité, 

 ne s'appliquent pas immédiatement aux surfaces d'un ordre quelconque 

 présentant des singularités. Je me propose ici, en reprenant la démons- 

 tration des théorèmes de M. Mannheim par une voie différente, de les 

 étendre à ce dernier cas. Dans ce but, je considérerai une surface algé- 

 brique définie par son ordre m, sa classe n et son rang r (classe des 

 sections planes), et soumise à la seule restriction de ne pas contenir la 

 conique située à l'infini, et commune à toutes les sphères (Ombilicale). 



2. — Je m'appuierai sur le théorème suivant, relatif aux contacts 

 d'une surface algébrique d'ordre m, de classe n et de rang r, avec les 

 surfaces d'un système défini par trois caractéristiques [a, v, p, qui sont 

 respectivement les nombres de ces surfaces qui passent par un point 

 quelconque, touchent un plan quelconque et touchent une droite quel- 

 conque. 



Théorème. — Le nombre des points de contact des surfaces d'un système 

 ( \j., v, p) avec une surface algébrique d'ordre m, de classe n et de rang r, 

 indépendante des surfaces du système, est égal a mv-j-n;;. — [— i'p - 



Ce théorème a été donné, pour la première fois, par M. de Jon- 

 quières, pour le cas des systèmes de surfaces algébriques (2). Je l'ai 

 ensuite étendu aux systèmes de surfaces quelconques (3). La démons- 

 tration la plus simple et la plus générale que l'on ait jusqu'ici de ce 

 théorème, est celle qui a été publiée par M. Brill (4) : elle est fondée 

 sur le principe de correspondance dans le plan, dû à M. Zeuthen (5) 



(1) Comptes rendus, t. LXX, p. 1025-1028. 



(2) Comptes rendus, t. LX1, p. 440-443 (1865). 



(3) Ibid t. LXXX, p. 170 (1875). 



(4) Mathematischen Annalen, VIII Kand, ', Heft (1875). 



(5) Comptes rendus, t. LXXVIII, p. i5S:i (1874 , — Salmon. Géométrie à trois dimensions. 

 Art. 63S. 



