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3. — Considérons une surface algébrique S, d'ordre m, de classe n, 

 de rang r, ne contenant pas l'ombilicale, et cherchons le nombre des 

 normales abaissées d'un point quelconque sur cette surface. 



L'ensemble des sphères ayant leur centre en forme un système dont 

 les caractéristiques sont évidemment y.=v=p — i. En appliquant à ce 

 système et à la surface S le théorème rappelé plus haut, on obtient pour 

 le nombre des points de contact de ces sphères avec S : m-]-n-\-r. Or 

 ces points de contact ne sont autre chose que les pieds des normales 

 abaissées de sur S. On peut donc énoncer le théorème suivant : 



I. — ]x nombre des normales abaissées d'un point quelconque sur 

 une .surface algébrique S, d'ordre m, de classe n et de ranq r, est 

 m-\-n-\-\\ 



Ce théorème est bien connu : il est dû à M. Salinon (1) 



4. — Cherchons maintenant le nombre des normales à la surface S, 

 situées dans un plan quelconque P. A cet effet, considérons le cylindre 

 circonscrit à 8, dont les génératrices sont perpendiculaires àP : la courbe 

 de contact de ce cylindre avec S est une courbe d'ordre r, de même 

 que la courbe de contact de tout cône circonscrit : elle coupe le plan P 

 en r points, qui sont évidemment les pieds des normales à S situées 

 dans le plan P. Par suite: 



II. — Le nombre des normales à la surface S, situées dans un plan 

 quelconque est égal à r. 



Remarque. — Les normales à la surface S forment une congruence : 

 l'ordre et la classe de cette congruence sont respectivement fournis par 

 les théorèmes I et II. 



5. — Considérons une droite D quelconque : tout plan passant par 

 cette droite contient r normales à S (II). D'ailleurs D rencontre 8 en 

 m points. De là le théorème suivant : 



III. — Le lieu des pieds des normales, abaissées des divers points d'une 

 droite quelconque sur la surface S, est une courbe d'ordre m-j-r, qui 

 coupe D en m points. 



Dans le cas où S estime surface générale de l'ordre m, r==m(m — 1), 

 et l'ordre du lieu précédent est m 2 . C'est un des résultats trouvés par 

 M. Mannheim (2). 



En faisant tourner la surface S autour de D, on engendre une surface 

 de révolution enveloppe de S, dont la caractéristique est évidemment 

 la courbe définie parle théorème III; par suite la section de cette sur- 

 lace par un plan perpendiculaire à l'axe de révolution se compose de 

 m-j-r cercles ; d'où l'on conclut : 



D journal du Cambridge, t. ni, p. /s (ms). 

 2] Loc. eit. 



