G. FQURET. — SLTll l.KS NORMALES UN. SURFACES ALGÉBRIQlKs 201 



IV. — La surface S. en tournant autour d'une droite quelconque, 

 engendre une surface de révolution dont le degré est. 2 (m -j-r). 



Ou retrouve 2m-, pour le cas étudié par M. Mannheim. 



(i. — l,. s normales abaissées des divers points de D sur S forment 

 une surface gauche (normalie). Tout plan passant par /> contient r nor- 

 males (II), génératrices de cette surface gauche. D'autre part, de chaque 

 point de D partent m+n-{-r normales (I) , qui sont également des 

 génératrices de la même surface. En observant d'ailleurs que les divers 

 plans passant par D ne peuvent couper la normalie que suivant des 

 droites, on conclut le théorème suivanl : 



V. — Le lieu des normales abaissées des divers points d'une droite D 

 sur la surface S, est une surface gauche (normalie) d'ordre m + n-f u 2r ; 

 dont I) est une droite multiple d'ordre m-\-\\-\-\\ 



En faisant n=m(m—l) 2 , r=m(m— 1), on obtient m 3 pour l'ordre du 

 lieu précédent, dans le cas où S esl une surface générale d'ordre m 

 résultat trouvé par M. Mannheim par une voie différente. 



9. — Le nombredes normales à S, qui rencontrent 1) et une deuxième 

 droite A, est évidemment égal au nombre des points d'intersection de A 

 avec la normalie (V.). D'où l'on conclut que 



VI. — Le nombre des normales a S, qui rencontrent deux droites don- 

 nées, est m-|-n-{-2r. 



Plus généralement, et par un raisonnement analogue, on établit 

 que 



Vil. — Le nombre des normales à S qui rencontrent une droite cl une 

 courbe d'ordre p données , est p (m + n -f- 2r) . 



De là on conclut immédiatement cet autre théorème : 



Vlll. — Le lieu des normales abaissées des divers points d'une 

 courbe d'ordre p sur la surface S, est une surface gauche (.normalie) 

 d'ordre p[m-j-n-|-2r|, dont m+n-{- r nappes passent par la courbe con- 

 sidérée. 



D'où résulte encore le théorème suivant : 



X. — Le nombre des normales, à S qui rencontrent deux courbes, 

 d'ordre respectivement égal à p et à q, est pq[m-(-n-|-2r]. 



10. — Considérons maintenant l'ensemble des normales à la surface S 

 aux divers points de la courbe d'intersection de S avec une surface V 

 d'ordre l. Ces normales engendrent une normalie dont l'ordre est donné 

 par le nombre de ses points de rencontre avec une droite D quelconque. 

 Mais les normales à S qui rencontrent D ont leur pied sur une courbe 

 d'ordre m + r (III), et cette dernière courbe rencontre la surface V en 

 l(m-\-r) points. Tel est l'ordre de la normalie considérée. Par suite : 



X. — La normalie à la surface S, qui a pour directrice la courbe 



