208 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



d'intersection de S par une surface d'ordre 1, est d'un ordre égal à 

 Km + r). 



Remarque. — Les théorèmes VI à X inclusivement ont été donnés 

 par M. Mannheim, pour le cas de la surface générale du m i,me ordre- 

 On retrouve les résultats de ce savant géomètre, en introduisant dans 

 nos énoncés l'hypothèse : n=m(m — if, r=m(m — 1). 



Voici, pour terminer, un dernier théorème qui comprend comme cas 

 particulier le théorème III. 



XI. — Le lieu des pieds des normales à la surface S, abaissées des 

 divers points d'une courbe K d'ordre p, est une courbe d'ordre 

 p(m-)-r) qui coupe K aux mp points d'intersection de cette courbe 

 avec S. 



Pour démontrer ce théorème, cherchons en combien de points le lieu 

 est coupé par un plan quelconque P. A cet effet, considérons la nor- 

 malie formée des normales à S, le long de la courbe d'intersection de S 

 avec P. Cette normalie est d'ordre m-\-r (X), et par suite elle rencontre 

 K en p (m-\-r) points. Ces points, à l'exclusion de tout autre, sur la 

 courbe K, jouissent de la propriété que l'une des normales à S issues 

 de chacun d'eux, tombe à l'intersection de cette surface avec P. Par 

 suite, le lieu a p(m-\-r) points dans le plan P, c'est-à-dire qu'il est de 

 l'ordre p (m-\-r). 



Remarque. — On peut remarquer que pour étendre les résultats 

 contenus dans cette note au cas d'une surface possédant comme ligne 

 simple ou singulière l'ombilicale, il suffirait de connaître, dans ces cas 

 spéciaux, les nombres de normales à la surface considérée, issues d'un 

 même point quelconque, ou situées dans un même plan quelconque : 

 les raisonnements que nous avons employés permettraient ensuite d'en 

 déduire les autres résultats. Il y a là une question intéressante, qui, à 

 notre connaissance, n'a pas encore été résolue pour une surface d'ordre 

 quelconque. 



M. CATALAN 



Professeur ;i l'Université de Liège. 



EVALUATION DES NOMBRES PREMIERS COMPRIS ENTRE DES LIMITES DONNÉES. 



— Séance </» 29 au fil IS77. — 



