i. GROLOUS. — NOTE SLR LÀ CONVERGENCE DES SÉRIES 209 



M. Jules GROLOUS 



Ancien Élève de l'École polytechnique. 



NOTE SUR LA CONVERGENCE DES SÉRIES. 



— Séance dit 89 août /S7 7. — 



Soit la série y dont le terme général est 



'" . W - 



Si <?"(n) tend vers une limite différente de lorsque n tend vers x , 

 la série (1) est convergente. 



Je ne donne la démonstration que pour le cas de lim y"{n) positif, 

 et soit : 



lim <p"(») = a. 



À partir d'une valeur de n convenablement choisie, on a toujours : 



tp"(n) > <*' 

 tt étant pris positif et inférieur à a. Posons donc : 

 (2) f(n) = a + <}>(n), 



i|<(n) étant positif pour toutes valeurs de n supérieures à \j. par exemple. 

 De la relation (2) on déduit : 



ç'(n) = *'n -f c + / <K n )d» 



et : 



tp (n) = i aV + Cn -J- C -f- / / ^(w)rfn 2 



H- F- 



et le terme général de la série devient : 



1 



i an* -f Cn -f G' + / / <J>(n) 



rfn 5 





N'oublions pas que a' est positif et remarquons que 



/ / (J»(n) t//i 2 



i* H- 



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