CATALAN. — m: L'iMTÉGRALB ELLIPTIQUE T)K PREMIÈRE ESPÈCE "il'i 



Prenons la formule de transformation : 



Il en résulte 



F t (c 



l 



(2) 



.(t 



J vri — 61 — - 



<K> 



b) cos 2 6] [ I — (1 — 6) sin'-O]- ;%\ 

 On a, par la formule du binôme : 



00 r(2n+l 



h i cOS- 



I — j I — 6)sin 2 



^-Ti 4" [11/1+1 )p 



r(2 P +i) 



^W) i' J 



(j —6)" sin-/' 0. 



Au moyen de ces valeurs, et d'une transformation connue, on change 

 la formule (3) en 



(A) 





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 pourvu que l'on suppose n-{-p = s, el 



"^ [ ( «4-i)i»+a)...3ii.i/i+i)(p+3)... !2pT 



On verra, tout à l'heure, que l\ est un nombre entier ( ). 



II. 



Le développement de F t (c), ordonné suivant les puissances du mo- 

 dule, est 



<+ttR© ! *■(&$ «H- ■ 



— 6 = 2cc, on a 



F 1 (c)=— V Q.r\ 



Si l'on fait I — b = ^x, on a 



ou 



(6) 



[*] Cette propriété résulte aussi du théorème suivant: 



ta + M fa+2)... 2d. (6-)-l) (64-2) . . . 2& ,. 



! — ! — ' — — — entier, 



1.2.3... \a-\-b) 

 i a et b fo»e rfes nombre* entier*. tSur quelque* questions relatives uux fonctions elliptiques. 

 Seconde note, p. U, 187'/). 



