E. DE .lONQUIÈRES. — FORMES QUADRATIQUES BINAIRES 41 



supposerai d'abord que chacun d'eux est décomposable en une forme 

 semblable, de telle sorte ({u'on a, par hypothèse, 



/; = a,"- + tb,\ f, = a,' + /&./; ....[„= a,,' + tbn\ 



Cela étant, et les symboles S, % désignant, respectivement, selon 

 l'usage, des sommes et des produits de termes semblables, les formules 

 ci-après permettent d'écrire immédiatement l'une des décompositions 

 dont N'* est susceptible, et que je nommerai la décomposition type, 

 N^ = Xi* -j- /Yi% dans laquelle les nombres composants X^ et Yj sont 

 premiers entre eux, et d'où les autres décompositions (qui sont au 

 nombre de 2" - ^ y compris celle-là, si n désigne le nombre des fac- 

 teurs quel que soit d'ailleurs l'exposant de la puissance à laquelle 

 chacun d'eux enti'e dans la composition de E) se déduisent par de 

 simples permutations de signes entre les différents termes dont ces for- 

 mules sont formées. 



iXi = n^a^ — tb-') — 2-/S[TC2(a6)Trn-2(tt' — tb')] 



— 2««32[7t6(a6)x«_6(a- — ib^-)] + etc. 



-^Y, = 2S[7:,(a6)rn-i(a^ — m] — ^'l^-,{ab}r.n-,{a' -f tb^)] 

 Vf 



-}- 2^i2S[TC5(a6)x»_3(a^ — th'] — etc. 



(A) 



Pour passer de cette décomposition type de N^ à l'une des 2"-^ — 1 

 autres, dans chacune desquelles les composants X^, Y^, etc., sont pa- 

 reillement premiers entre eux, il suffit d'y changer, à la fois dans les 

 deux foimules et successivement, les signes des facteurs ab pris isolé- 

 ment, puis les signes de ces facteurs pris deux, à deux, puis trois à trois 



quatre à quatre, etc., et enfin à ^r si n est impair, ou 



n , n . . , ^ . - 



— a -— - SI n est pair, en ne prenant, dans ce dernier cas, que la 



moitié des solutions fournies par ce dernier groupe de permutations, 

 parce qu'elles s'y répètent deux à deux. 



II. Outre ces décompositions ou représentations propres de N% il y 

 en a d'autres dans lesquelles les composants ont un diviseur commun, 

 savoir l'un quelconque des facteurs de N, ou le produit de deux, de 

 trois, etc., enfin de n — 1 de ces facteurs. Mais comme ces représenta- 

 tions composées ou impropres se déterminent par les mêmes formules 

 (A), appliquées au nombre N'* divisé par le carré du diviseur commun 

 des membres composants respectifs Xj , Y, , elles ne présentent aucun 

 intérêt particulier, et il n'y a pas lieu d'en parler davantage, si ce n'est 



