42 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



pour dire qu'en les comptant avec les représentations propres, on 



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obtient le nombre total -3- (3^* — 1) des décompositions de N% con- 

 formément à la règle établie par Gauss et Legendre. 



Quand les facteurs premiers du nombre N, que je suppose encore 

 être de la forme u"^ -f- tv^, entrent à une puissance quelconque, et 

 non plus à la première, dans sa composition, le nombre total des 

 représentations de N^ s'accroît en vertu de la règle générale, dont la 



3" — 1 

 formule ^ n'est qu'une expression particulière, relative au cas 



où tous les exposants sont égaux à 2 ; mais ce qui est digne de remarque, 

 c'est que le nombre des représentations propres de N'^ reste le même, 

 comme celui des facteurs premiers simples duquel il dépend exclusive- 

 ment, et que celui des représentations composées est seul accru. 



III. Dans l'un et dans l'autre cas, on passe des représentations propres 

 de N% ainsi obtenues, à celles de N, qui sont pareillement au nombre 

 de 2*' - ^ et qui leur correspondent une à une, par les formules 



dans lesquelles Xi et yi désignent les composants de la représentation 

 N = cc^• -{- txf-i correspondante à celle X^« + tX'^i de N% et oii le com- 

 posant Xi doit entrer avec le signe que lui attribue la formule (A) quia 

 servi à le trouver. 



Réciproquement, chacune des2"— ^ représentations propres de N* 

 dérive de celle correspondante de N par les relations suivantes, dites 

 « des triangles rectangles », 



1 



Xi = cc^• — tifi , -—= Yi = Ixi yi (C); 



V t 



mais comme on ne connaît pas de formule propre à donner immédiate- 

 ment les décompositions de N, ces formules (G), dont je montrerai 

 ci-après l'utilité pour un autre usage , ne sont d'aucune application 

 pratique pour ce qui concerne la décomposition même de N. Le moyen 

 le plus direct et le plus prompt d'obtenir les représentations propres de 

 ce nombre consiste donc, comme je l'ai dit, à écrire d'abord celles de 

 N'^, à l'aide des formules (A), ce qui se fait d'un seul coup et sans 

 tâtonnements, et à passer ensuite de ces représentations à celles de N 

 par les formules (B). Il y a même lieu de remarquer que, si l'on n'a 

 pour objet que la représentation de N, il suffit de calculer les compo- 

 sants X des décompositions de N'^ par la première seule de ces formules. 



