E. DE JONQUIÈRES. — FORMES QUADRATIQUES BINAIRES 43 



Pour plus de détails sur ces divers points et pour les démonstrations, 

 je renvoie le lecteur aux articles que j'ai publiés dans le tome XVII, 

 2^ série, des Nouvelles Annales de mathématiques. 



IV. Jusqu'ici j'ai supposé que tous les facteurs premiers f\, f^,--- fnàu. 

 nombre N sont décomposabies dans la forme u^ -f tv'"', par laquelle il 

 s'agit de représenter le nombre N. S'il y en a d'autres, ils sont, soit des 

 diviseurs linéaires de ladite formule (Voir la Théorie des nombres, de 

 Legendre, II'' partie, § IX, X et suiv.), soit des nombres premiers ne 

 possédant ni l'une ni l'autre de ces deux qualités. Dans ce dernier cas, 

 pour que le nombre N et son carré soient décomposabies en sommes qua- 

 dratiques de la forme requise, il faut que le produit de ces facteurs, qui 

 ne sont ni quadratiques ni linéaires, soit égal au carré parfait d'un 

 nombre p. S'il en est ainsi, et qu'en même temps les autres fadeurs 

 de N soient de la forme u'^ -f- tv^, N sera décomposable dans cette forme, 

 elle multiplicateur [5 se retrouvera nécessairement comme facteur commun 

 des deux composants xi , iji de chacune des décompositions propres de N, 

 c'est-à-dire de chacune de celles de ses représentations dans lesquelles 

 ces composants, une fois débarrassés de leur diviseur commun qui est 

 absolument étranger à la forme quadratique, sont premiers entre eux^. Il 



faut donc commencer par diviser le nombre N par [i% et s'occuper seu- 



N 

 lement de la décomposition du quotient — ^; qui n'a plus que des facteurs 



quadratiques de la forme donnée et des facteurs linéaires de cette forme 

 ou de l'une des formes quadratiques à trois termes associées à celle-là, 

 A l'égard des diviseurs linéaires qui entrent comme facteurs dans N, 

 une transformation préalable provisoire de chacun d'eux est d'abord 

 nécessaire pour qu'on puisse faire usage des formules (A). A cet eïfet, 

 il faut multiplier chacun d'eux par un multiphcateur (et il en existe 

 toujours au moins un) choisi de manière à le transformer en un diviseur 

 quadratique de la forme requise u^ -f- tv^ (V. Théorie des nombres, n°* 186 

 et 231). Il faut, en outre, pour que les formules (A) et (B) conduisent 

 au résultat cherché, que le produit de ces multiplicateurs auxiliaires 

 soit un carré parfait a^ Cette condition sera satisfaite d'elle-même, si 

 ceux de ces multiplicateurs qui sont égaux entre eux (cette égalité se 

 présente fréquemment pour les facteurs d'un môme nombre susceptible 

 de décomposition) sont en nombre pair. S'il en est autrement, on pren- 

 dra pour multiplicateurs respectifs des facteurs qui sont en excédant 

 les carrés des nombres qui leur conviennent individuellement, au lieu 

 de prendre ces nombres eux-mêmes, à la condition bien entendu, que 

 ces carrés jouissent aussi de la propriété de rendre quadratiques les 

 diviseurs linéaires auxquels ils correspondent; dans le cas contraire, 

 il faudrait choisir d'autres multiplicateurs satisfaisant à cette condition. 



