44 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Le nombre proposé N se trouvera de la sorte transformé en un autre 

 nombre a^N, et les formules (Â), rendues applicables par cette transfor- 

 mation préalable et provisoire, feront connaître immédiatement toutes 

 les représentations propres du carré a* N^ Si le nombre N est décom- 

 posable dans la forme donnée, il en est de même de son carré N^ ; il 

 est donc évident qu'alors, parmi les représentations de a^N"^ ainsi obte- 

 nues, il en existera une ou plusieurs, selon le cas, où les nombres com- 

 posants auront le produit oP- pour facteur commun, c'est-à-dire seront 

 de la forme a-X; ,a^Yi . En supprimant ce facteur dans chacune de ces 

 solutions^ on en déduira, par les formules (B), toutes les représentations 

 cherchées du nombre N. Si, parmi les représentations de a* N% il n'en 

 existe aucune où cette circonstance se présente, ce sera une preuve que 

 le nombre proposé n'est susceptible d'aucune représentation dans la 

 forme donnée. 



V. Lorsque N^ et N ont été décomposés dans la forme iC^ -]- tv"^, on 



obtient leurs représentations dans la forme conjuguée p^ -)- 2p(y -|- c^^, 



si i est de la forme 4A; -\- 1, ou dans la forme p'^ -f- fq -\-(i(f-, si t est 



de la forme 4/i -f- 3, en posant, pour chaque représentation œ^ -j- txf- 



de N, 



p = X — y, q = y, c = t -\-i, dans le premier cas, et 



t + i 

 p = X — y, q = '^y, d = y , dans le second cas. 



Lorsque t est négatif (*), les représentations de N ainsi obtenues, soit 

 dans la forme à deux termes, soit dans sa conjuguée, sont les repré- 

 sentations initiales ou en moindres nombres de N, desquelles on en 

 déduit ensuite une infinité d'autres par les formules connues (V. Legen- 

 dre, Théorie des nombres, l''^ partie, n" 88). 



VL Enfin les formules (A), légèrement modifiées, se prêtent aussi, 

 lorsque le nombre des facteurs de N est pair et que ces facteurs sont 

 tous de la forme ga'^ -\- ph"^, à la décomposition du carré de ce nombre 

 et de ce nombre lui-même en une somme quadratique de la forme 



X* -I — — Y^. 11 faut alors les écrire ainsi : 



/ X = ::« (qa" —pb-) — ^■'pql%{ah}T:n-iiqa'' — pb^)] 



i + 2*/)Vy22K(a6).7c„-,(rya^ — pb^)] — etc. 



y _ ^^pq^:^[T.,{ah)-n-,iqa' — pb')] 



+ ^YQ'^Mab)T:n-'o{qa- — pb'')] — etc. 



(*) Je ne m'étais d'abord occuiié que du cas de t positif. C'est M. Tcliebichef qui m'a fuit 

 Thonneui' de m'inviter à lecherclier si les mômes formules ne s'appliqueraient pas aussi bien au 

 cas où cette caractéristique est négative. C'est en effet ce qui a lieu ; les formules [A) donnent un 

 résultat algébrique, indépendant par conséquent du signe, comme de la valeur do cette constante. 



