E. DE JONQUIÈRES. — FORMES QUADRATIQUES LlNAIRES 45 



mais lorsque le nombre des facteurs premiers de N est impair, il se pré- 

 sente cette particularité, ({ue N^ seul est décomposabie dans la l'orme 



P 

 X- -|- — Y^ (et cela arrive précisément pnrce que le nombre de ses 



facteurs est toujours pair, puisque c'est un carré), et que les représenta- 

 tions de N, qu'on déduit par les formules (B) de celles que les formules 

 (A) ou données pour N% sont de la forme qx^ -\- pif, semblable à celle 

 des facteurs composants de N. Cela est facile à démontrer. On sait, en 

 effet (Legendre, Théorie des nombres, n° 235) que le produit de deux 



expressions de la forme a'^ -j- tb"^ est aussi de cette forme. Si t = -^, 



q 



un facteur tel que qa'^ -j- pb- peut s'écrire ainsi q (a- -j — ~ bn. Le 



\ q J 



produit d'un nombre pair 2/ de tels facteurs sera donc de la forme 



qii ^A- 4- ^ P,A, ou ï^f + ^ . (çf^f, c'est-à-dire aussi de la 

 forme Aj^ -| Bi'-. Mais le produit d'un nombre impair de ces fac- 

 teurs sera de la forme q^^ + ' (k} + -^ BM ou q \[q^ A)'' -|- -^ (^nij"^] 



= q \^y- + ~- BjM = qkC- + /jBj-, en posant, dans les deux cas, 



Al = 7'' A, B, = g' B. 



Quelques exemples éclairciront ce qui précède. 



VII. Soit d'abord N = 7429 = 17 . 19 . 23, dont on demande les 

 représentations dans la forme u^ -\- ISi;^ 



De ses trois facteurs premiers, un seul est quadratique; c'est 19 . Les 

 dt3ux autres le deviennent en les multipliant, respectivement, par 3. On 

 a ainsi 9N = (3.17).19. (3 . 23) = (6'^-f- IS.I'^) (2'^+15.1^) (3'^+15.2^), 

 et les formules (A) donnent pour les quatre systèmes de valeur de X et de Y. 



Xi:= 9. 0349 -7^=3 Yi=: — 9.996 



yi5 



X, = — 9 . 7091 -4=- Y, = — 9 . 572 



y 15 



X3= 9.4429 _i_Y3= 9.1540 



y 15 



X»= 9.1549 ^7:LrY,= 9.1876 



/l5 



Les composants X et Y des quatre systèmes ayant le facteur commun 

 9, il s'ensuit que W- et N sont susceptibles chacun de quatre repré- 



